staben-Zahlen. Und wie die letztern sind sie gleichermassen unent- behrlich und ermöglichen uns die Realisirung analoger Vorteile.
Die allgemeinen Elementsymbole i, j, h, k, ... lassen insbesondre auch als "Indizes", "laufende Zeiger", "Summations-" und "Produktations- variable", sich verwenden, und werden zunächst sogar vorwiegend als solche in Betracht kommen.
In der That können wir mit ihrer Beihülfe die Gleichung, welche uns den Denkbereich 11 darstellte, jetzt konziser schreiben, wie folgt: 4)
[Formel 1]
, wobei zur korrekten Auslegung, zur "Auswertung" oder "Evaluation" der Summe rechterhand nur erforderlich ist, dass man der Summations- variablen i auferlege, jedes der Elemente A, B, C, ... als seine Be- deutung anzunehmen, oder -- wie man sich ausdrückt -- die Gesamt- heit der Individuen des Denkbereiches 11 "zu durchlaufen".
Dieser Prozess, der in unsrer Theorie mit jedem Ausdruck von der Form Si oder Sj, Sh, ... von einem f (i, j, h, ...) in Gedanken zu voll- ziehen sein wird, ist wohl zu unterscheiden von dem Auslegungsverfahren bei solchen Ausdrücken wie
[Formel 2]
, wie sie im ersten und zweiten Bande häufig vorkamen (und auch hier in modifizirter Bedeutung bald eine Rolle spielen werden), wo nämlich die Summationsvariable u zu durchlaufen hatte nicht blos alle Elemente, sondern alle erdenklichen Gebiete oder Klassen, das ist alle Elementesummen aus dem vorliegenden Denkbereiche.
Also: jedem auf ein Symbol der Reihe 3) bezüglichen Summen- zeichen wird (woferne nicht ausdrücklich anderes stipulirt ist) die vorhin beschriebene "Erstreckung" zuzuschreiben sein.
Der Denkbereich 11 bildet eine Mannigfaltigkeit, auf welche ohne weitres der gesamte "identische Kalkul" anwendbar sein würde. Doch soll von dieser Thatsache bis zur Neubegründung des letztern hier kein Gebrauch gemacht werden.
Jede (identische) Summe von Elementen dieses Denkbereiches 11 wird späterhin als ein "absoluter Term", als ein "System" (Gebiet) oder auch eine "Klasse" (class-term) schlechtweg zu bezeichnen sein.
Nunmehr können wir auch das oben am Beispiel Ausgeführte allgemein statuiren:
Werden aus unserm Denkbereiche 11 irgend zwei Elemente i und j in bestimmter Reihenfolge hervorgehoben und in dieser -- gleichviel aus welchem Beweggrunde, einerlei unter welchem Gesichtspunkte -- zu einem "Paare" zusammengehalten, so mag das Ergebniss der Zu-
Erste Vorlesung.
staben-Zahlen. Und wie die letztern sind sie gleichermassen unent- behrlich und ermöglichen uns die Realisirung analoger Vorteile.
Die allgemeinen Elementsymbole i, j, h, k, … lassen insbesondre auch als „Indizes“, „laufende Zeiger“, „Summations-“ und „Produktations- variable“, sich verwenden, und werden zunächst sogar vorwiegend als solche in Betracht kommen.
In der That können wir mit ihrer Beihülfe die Gleichung, welche uns den Denkbereich 11 darstellte, jetzt konziser schreiben, wie folgt: 4)
[Formel 1]
, wobei zur korrekten Auslegung, zur „Auswertung“ oder „Evaluation“ der Summe rechterhand nur erforderlich ist, dass man der Summations- variablen i auferlege, jedes der Elemente A, B, C, … als seine Be- deutung anzunehmen, oder — wie man sich ausdrückt — die Gesamt- heit der Individuen des Denkbereiches 11 „zu durchlaufen“.
Dieser Prozess, der in unsrer Theorie mit jedem Ausdruck von der Form Σi oder Σj, Σh, … von einem f (i, j, h, …) in Gedanken zu voll- ziehen sein wird, ist wohl zu unterscheiden von dem Auslegungsverfahren bei solchen Ausdrücken wie
[Formel 2]
, wie sie im ersten und zweiten Bande häufig vorkamen (und auch hier in modifizirter Bedeutung bald eine Rolle spielen werden), wo nämlich die Summationsvariable u zu durchlaufen hatte nicht blos alle Elemente, sondern alle erdenklichen Gebiete oder Klassen, das ist alle Elementesummen aus dem vorliegenden Denkbereiche.
Also: jedem auf ein Symbol der Reihe 3) bezüglichen Summen- zeichen wird (woferne nicht ausdrücklich anderes stipulirt ist) die vorhin beschriebene „Erstreckung“ zuzuschreiben sein.
Der Denkbereich 11 bildet eine Mannigfaltigkeit, auf welche ohne weitres der gesamte „identische Kalkul“ anwendbar sein würde. Doch soll von dieser Thatsache bis zur Neubegründung des letztern hier kein Gebrauch gemacht werden.
Jede (identische) Summe von Elementen dieses Denkbereiches 11 wird späterhin als ein „absoluter Term“, als ein „System“ (Gebiet) oder auch eine „Klasse“ (class-term) schlechtweg zu bezeichnen sein.
Nunmehr können wir auch das oben am Beispiel Ausgeführte allgemein statuiren:
Werden aus unserm Denkbereiche 11 irgend zwei Elemente i und j in bestimmter Reihenfolge hervorgehoben und in dieser — gleichviel aus welchem Beweggrunde, einerlei unter welchem Gesichtspunkte — zu einem „Paare“ zusammengehalten, so mag das Ergebniss der Zu-
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[8/0022]
Erste Vorlesung.
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Die allgemeinen Elementsymbole i, j, h, k, … lassen insbesondre
auch als „Indizes“, „laufende Zeiger“, „Summations-“ und „Produktations-
variable“, sich verwenden, und werden zunächst sogar vorwiegend als
solche in Betracht kommen.
In der That können wir mit ihrer Beihülfe die Gleichung, welche
uns den Denkbereich 11 darstellte, jetzt konziser schreiben, wie folgt:
4) [FORMEL],
wobei zur korrekten Auslegung, zur „Auswertung“ oder „Evaluation“
der Summe rechterhand nur erforderlich ist, dass man der Summations-
variablen i auferlege, jedes der Elemente A, B, C, … als seine Be-
deutung anzunehmen, oder — wie man sich ausdrückt — die Gesamt-
heit der Individuen des Denkbereiches 11 „zu durchlaufen“.
Dieser Prozess, der in unsrer Theorie mit jedem Ausdruck von der
Form Σi oder Σj, Σh, … von einem f (i, j, h, …) in Gedanken zu voll-
ziehen sein wird, ist wohl zu unterscheiden von dem Auslegungsverfahren
bei solchen Ausdrücken wie [FORMEL], wie sie im ersten und zweiten Bande
häufig vorkamen (und auch hier in modifizirter Bedeutung bald eine Rolle
spielen werden), wo nämlich die Summationsvariable u zu durchlaufen hatte
nicht blos alle Elemente, sondern alle erdenklichen Gebiete oder Klassen,
das ist alle Elementesummen aus dem vorliegenden Denkbereiche.
Also: jedem auf ein Symbol der Reihe 3) bezüglichen Summen-
zeichen wird (woferne nicht ausdrücklich anderes stipulirt ist) die vorhin
beschriebene „Erstreckung“ zuzuschreiben sein.
Der Denkbereich 11 bildet eine Mannigfaltigkeit, auf welche ohne
weitres der gesamte „identische Kalkul“ anwendbar sein würde. Doch
soll von dieser Thatsache bis zur Neubegründung des letztern hier
kein Gebrauch gemacht werden.
Jede (identische) Summe von Elementen dieses Denkbereiches 11
wird späterhin als ein „absoluter Term“, als ein „System“ (Gebiet) oder
auch eine „Klasse“ (class-term) schlechtweg zu bezeichnen sein.
Nunmehr können wir auch das oben am Beispiel Ausgeführte
allgemein statuiren:
Werden aus unserm Denkbereiche 11 irgend zwei Elemente i und j
in bestimmter Reihenfolge hervorgehoben und in dieser — gleichviel aus
welchem Beweggrunde, einerlei unter welchem Gesichtspunkte — zu
einem „Paare“ zusammengehalten, so mag das Ergebniss der Zu-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 8. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/22>, abgerufen am 20.04.2024.
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