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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 16. Inverse Parallelreihenprobleme.
(a ; 0')i i = ai i0'i i + ai j0'j i = ai j(a j 1')i i = (ai i + 1'i i)(ai j + 1'j i) = ai j,
(a ; 0')i j = ai i0'i j + ai j0'j j = ai i(a j 1')i j = (ai i + 1'i j)(ai j + 1'j j) = ai i.

Auch konnten diese Schemata schon zur Verifikation der vorher-
gehenden Ergebnisse verwendet werden.

Ist nun ai i = 1, somit ai j = 0, so folgt:
(a ; 0')i i = 0 = (a j 1')i i, (a ; 0')i j = 1 = (a j 1')i j.
Ist dagegen ai i = 0, somit ai j = 1, so folgt:
(a ; 0')i i = 1 = (a j 1')i i, (a ; 0')i j = 0 = (a j 1')i j.
Das heisst: in beiden Fällen verkehrt sich die Zeile a von a bei den rela-
tiven Knüpfungen mit den relativen Moduln in an; und es gilt in unserm
Denkbereiche 1 :
a ; 0' = a j 1' = 1an0.

Die erstere Gleichung hat begreiflich eine gewaltige Reduktion aller
Formeln zur Folge.

Wieder aber muss, weil überhaupt nur zwei Zeilen vorhanden sind,
von den drei Zeilenkategorieen mindestens eine unvertreten sein in jedem
Relative a. Oder man hat die drei Fälle:
a = 1a-, a = 1 - 0, a = -a0,
deren mittlerer nur 4, deren beide äusseren blos 8 Zeilenflexionen zulassen.

§ 16. Die inversen Zeilen- oder Kolonnenprobleme.

Die im vorigen Paragraph gelösten mögen füglich "direkte" Parallel-
reihenprobleme genannt werden. Sie liefen auf zweierlei hinaus: Ein-
mal, jedes einer "Parallelreihengruppe" von a angehörige Relativ,
mittelst der fünfziffrig schematischen Ausrechnung desselben, nach seiner
Entstehung aus a auf die konziseste und durchsichtigste Weise be-
schreiben zu lernen -- wenn wir zur "Zeilen-(resp. Kolonnen-)gruppe"
von a alle diejenigen Relative zählen, welche aus a abgeleitet sind
lediglich mittelst der drei identischen Spezies in Verbindung mit solchen
relativen Modulknüpfungen, die eingangs des § 15 als blosse "Zeilen-
(resp. Kolonnen-)operationen" charakterisirt wurden. Sodann auch um-
gekehrt: jedes in schematisch fünfziffriger Darstellung gegebne Relativ
vermittelst der ersten sechs Spezies unsrer Theorie (wobei von den
relativen nur solche der vorhin charakterisirten Art zu verwenden
sind) ausdrücken zu lernen durch a.

Diesen "direkten" Parallelreihenproblemen stehen nun noch andre
gegenüber, die als die "inversen" bezeichnet zu werden verdienen. Letz-
tere sind -- der fünften Vorlesung gemäss -- teils Auflösungs- teils
Eliminationsaufgaben.


§ 16. Inverse Parallelreihenprobleme.
(a ; 0')i i = ai i0'i i + ai j0'j i = ai j(a ɟ 1')i i = (ai i + 1'i i)(ai j + 1'j i) = ai j,
(a ; 0')i j = ai i0'i j + ai j0'j j = ai i(a ɟ 1')i j = (ai i + 1'i j)(ai j + 1'j j) = ai i.

Auch konnten diese Schemata schon zur Verifikation der vorher-
gehenden Ergebnisse verwendet werden.

Ist nun ai i = 1, somit ai j = 0, so folgt:
(a ; 0')i i = 0 = (a ɟ 1')i i, (a ; 0')i j = 1 = (a ɟ 1')i j.
Ist dagegen ai i = 0, somit ai j = 1, so folgt:
(a ; 0')i i = 1 = (a ɟ 1')i i, (a ; 0')i j = 0 = (a ɟ 1')i j.
Das heisst: in beiden Fällen verkehrt sich die Zeile α von a bei den rela-
tiven Knüpfungen mit den relativen Moduln in ᾱ; und es gilt in unserm
Denkbereiche 1 :
a ; 0' = a ɟ 1' = 1ᾱ0.

Die erstere Gleichung hat begreiflich eine gewaltige Reduktion aller
Formeln zur Folge.

Wieder aber muss, weil überhaupt nur zwei Zeilen vorhanden sind,
von den drei Zeilenkategorieen mindestens eine unvertreten sein in jedem
Relative a. Oder man hat die drei Fälle:
a = 1α-, a = 1 - 0, a = -α0,
deren mittlerer nur 4, deren beide äusseren blos 8 Zeilenflexionen zulassen.

§ 16. Die inversen Zeilen- oder Kolonnenprobleme.

Die im vorigen Paragraph gelösten mögen füglich „direkte“ Parallel-
reihenprobleme genannt werden. Sie liefen auf zweierlei hinaus: Ein-
mal, jedes einer „Parallelreihengruppe“ von a angehörige Relativ,
mittelst der fünfziffrig schematischen Ausrechnung desselben, nach seiner
Entstehung aus a auf die konziseste und durchsichtigste Weise be-
schreiben zu lernen — wenn wir zur „Zeilen-(resp. Kolonnen-)gruppe“
von a alle diejenigen Relative zählen, welche aus a abgeleitet sind
lediglich mittelst der drei identischen Spezies in Verbindung mit solchen
relativen Modulknüpfungen, die eingangs des § 15 als blosse „Zeilen-
(resp. Kolonnen-)operationen“ charakterisirt wurden. Sodann auch um-
gekehrt: jedes in schematisch fünfziffriger Darstellung gegebne Relativ
vermittelst der ersten sechs Spezies unsrer Theorie (wobei von den
relativen nur solche der vorhin charakterisirten Art zu verwenden
sind) ausdrücken zu lernen durch a.

Diesen „direkten“ Parallelreihenproblemen stehen nun noch andre
gegenüber, die als die „inversen“ bezeichnet zu werden verdienen. Letz-
tere sind — der fünften Vorlesung gemäss — teils Auflösungs- teils
Eliminationsaufgaben.


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[223/0237] § 16. Inverse Parallelreihenprobleme. (a ; 0')i i = ai i0'i i + ai j0'j i = ai j (a ɟ 1')i i = (ai i + 1'i i)(ai j + 1'j i) = ai j, (a ; 0')i j = ai i0'i j + ai j0'j j = ai i (a ɟ 1')i j = (ai i + 1'i j)(ai j + 1'j j) = ai i. Auch konnten diese Schemata schon zur Verifikation der vorher- gehenden Ergebnisse verwendet werden. Ist nun ai i = 1, somit ai j = 0, so folgt: (a ; 0')i i = 0 = (a ɟ 1')i i, (a ; 0')i j = 1 = (a ɟ 1')i j. Ist dagegen ai i = 0, somit ai j = 1, so folgt: (a ; 0')i i = 1 = (a ɟ 1')i i, (a ; 0')i j = 0 = (a ɟ 1')i j. Das heisst: in beiden Fällen verkehrt sich die Zeile α von a bei den rela- tiven Knüpfungen mit den relativen Moduln in ᾱ; und es gilt in unserm Denkbereiche 1 [FORMEL]: a ; 0' = a ɟ 1' = 1ᾱ0. Die erstere Gleichung hat begreiflich eine gewaltige Reduktion aller Formeln zur Folge. Wieder aber muss, weil überhaupt nur zwei Zeilen vorhanden sind, von den drei Zeilenkategorieen mindestens eine unvertreten sein in jedem Relative a. Oder man hat die drei Fälle: a = 1α-, a = 1 - 0, a = -α0, deren mittlerer nur 4, deren beide äusseren blos 8 Zeilenflexionen zulassen. § 16. Die inversen Zeilen- oder Kolonnenprobleme. Die im vorigen Paragraph gelösten mögen füglich „direkte“ Parallel- reihenprobleme genannt werden. Sie liefen auf zweierlei hinaus: Ein- mal, jedes einer „Parallelreihengruppe“ von a angehörige Relativ, mittelst der fünfziffrig schematischen Ausrechnung desselben, nach seiner Entstehung aus a auf die konziseste und durchsichtigste Weise be- schreiben zu lernen — wenn wir zur „Zeilen-(resp. Kolonnen-)gruppe“ von a alle diejenigen Relative zählen, welche aus a abgeleitet sind lediglich mittelst der drei identischen Spezies in Verbindung mit solchen relativen Modulknüpfungen, die eingangs des § 15 als blosse „Zeilen- (resp. Kolonnen-)operationen“ charakterisirt wurden. Sodann auch um- gekehrt: jedes in schematisch fünfziffriger Darstellung gegebne Relativ vermittelst der ersten sechs Spezies unsrer Theorie (wobei von den relativen nur solche der vorhin charakterisirten Art zu verwenden sind) ausdrücken zu lernen durch a. Diesen „direkten“ Parallelreihenproblemen stehen nun noch andre gegenüber, die als die „inversen“ bezeichnet zu werden verdienen. Letz- tere sind — der fünften Vorlesung gemäss — teils Auflösungs- teils Eliminationsaufgaben.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 223. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/237>, abgerufen am 31.05.2020.