eindeutige Operationen. [Die direkten Aufgaben bestanden hier darin, wenn x = a gegeben war, das Negat xn( = an) und das Konverse x( = a) zu bilden und wurden durch die Festsetzungen (11) und (13) gelöst].
Mit dieser Bemerkung sind die Inversionsprobleme für die Spezies der Negation und Konversion erledigt.
Was ferner die beiden identischen von den vier knüpfenden Spezies betrifft, so haben wir uns in Bd. 1 so gründlich mit denselben beschäftigt, dass wir auch diese als abgethan hinstellen dürfen; das Interesse für die- selben ging schliesslich auf in dem allgemeineren Interesse an der Auf- lösung von Gleichungen überhaupt -- im identischen Kalkul.
Und so gipfelt nun unser nächstes Interesse in den Problemen, welche aus der Umkehrung der beiden relativen Knüpfungen entspringen. Ein solches würde beispielsweise die Auflösung nach der Unbekannten x der Gleichung x ; b = a sein.
Weil aber die Gleichung äquivalent ist einem Paare von Subsumtionen, welche als vor- und rückwärts genommene simultan erfüllt werden müssen -- wie denn die angeführte Gleichung zerfällt in x ; ba und ax ; b -- so haben wir dem gedachten Inversionsprobleme zwei einfachere vorauf- gehen zu lassen, welche auf die Auflösung nach x je einer von diesen Teilsubsumtionen der Gleichung hinauslaufen.
Wir haben demgemäss nicht vier sondern zwölf elementare Inversions- probleme zu lösen -- drei Quadrupel, die wir als erste, zweite und dritte Inversionsprobleme bezeichnen wollen.
Das "erste Inversionsproblem" verlangt die Auflösung nach dem unbekannten Relativ x je einer der vier Subsumtionen: 1)
[Formel 1]
Die Lösung wird -- wie zu sehn in leichtester Weise -- vermittelt durch eine Gruppe von Sätzen, welche ich "die ersten Inversions- theoreme" nenne und die im Hinblick auf ihre Symmetrie und die cyklische Vertauschbarkeit der drei in ihnen vorkommenden Buchstaben ganz leicht zu behalten sind. Diese Theoreme statuiren die Äquivalenz der nachfolgend einander gleichgesetzten Subsumtionen: 2)
[Formel 2]
.
Mit diesen Formeln sind allerdings die Theoreme zweimal ausgesprochen, indem die zwei letzten Zeilen -- jedoch in einer vollkommen gleich- berechtigten Form -- blos wiederholen, was schon die beiden ersten Zeilen
Siebente Vorlesung.
eindeutige Operationen. [Die direkten Aufgaben bestanden hier darin, wenn x = a gegeben war, das Negat x̄( = ā) und das Konverse x̆( = ă) zu bilden und wurden durch die Festsetzungen (11) und (13) gelöst].
Mit dieser Bemerkung sind die Inversionsprobleme für die Spezies der Negation und Konversion erledigt.
Was ferner die beiden identischen von den vier knüpfenden Spezies betrifft, so haben wir uns in Bd. 1 so gründlich mit denselben beschäftigt, dass wir auch diese als abgethan hinstellen dürfen; das Interesse für die- selben ging schliesslich auf in dem allgemeineren Interesse an der Auf- lösung von Gleichungen überhaupt — im identischen Kalkul.
Und so gipfelt nun unser nächstes Interesse in den Problemen, welche aus der Umkehrung der beiden relativen Knüpfungen entspringen. Ein solches würde beispielsweise die Auflösung nach der Unbekannten x der Gleichung x ; b = a sein.
Weil aber die Gleichung äquivalent ist einem Paare von Subsumtionen, welche als vor- und rückwärts genommene simultan erfüllt werden müssen — wie denn die angeführte Gleichung zerfällt in x ; b ⋹ a und a ⋹ x ; b — so haben wir dem gedachten Inversionsprobleme zwei einfachere vorauf- gehen zu lassen, welche auf die Auflösung nach x je einer von diesen Teilsubsumtionen der Gleichung hinauslaufen.
Wir haben demgemäss nicht vier sondern zwölf elementare Inversions- probleme zu lösen — drei Quadrupel, die wir als erste, zweite und dritte Inversionsprobleme bezeichnen wollen.
Das „erste Inversionsproblem“ verlangt die Auflösung nach dem unbekannten Relativ x je einer der vier Subsumtionen: 1)
[Formel 1]
Die Lösung wird — wie zu sehn in leichtester Weise — vermittelt durch eine Gruppe von Sätzen, welche ich „die ersten Inversions- theoreme“ nenne und die im Hinblick auf ihre Symmetrie und die cyklische Vertauschbarkeit der drei in ihnen vorkommenden Buchstaben ganz leicht zu behalten sind. Diese Theoreme statuiren die Äquivalenz der nachfolgend einander gleichgesetzten Subsumtionen: 2)
[Formel 2]
.
Mit diesen Formeln sind allerdings die Theoreme zweimal ausgesprochen, indem die zwei letzten Zeilen — jedoch in einer vollkommen gleich- berechtigten Form — blos wiederholen, was schon die beiden ersten Zeilen
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Siebente Vorlesung.
eindeutige Operationen. [Die direkten Aufgaben bestanden hier darin,
wenn x = a gegeben war, das Negat x̄( = ā) und das Konverse x̆( = ă)
zu bilden und wurden durch die Festsetzungen (11) und (13) gelöst].
Mit dieser Bemerkung sind die Inversionsprobleme für die Spezies der
Negation und Konversion erledigt.
Was ferner die beiden identischen von den vier knüpfenden Spezies
betrifft, so haben wir uns in Bd. 1 so gründlich mit denselben beschäftigt,
dass wir auch diese als abgethan hinstellen dürfen; das Interesse für die-
selben ging schliesslich auf in dem allgemeineren Interesse an der Auf-
lösung von Gleichungen überhaupt — im identischen Kalkul.
Und so gipfelt nun unser nächstes Interesse in den Problemen, welche
aus der Umkehrung der beiden relativen Knüpfungen entspringen. Ein
solches würde beispielsweise die Auflösung nach der Unbekannten x der
Gleichung x ; b = a sein.
Weil aber die Gleichung äquivalent ist einem Paare von Subsumtionen,
welche als vor- und rückwärts genommene simultan erfüllt werden müssen
— wie denn die angeführte Gleichung zerfällt in x ; b ⋹ a und a ⋹ x ; b —
so haben wir dem gedachten Inversionsprobleme zwei einfachere vorauf-
gehen zu lassen, welche auf die Auflösung nach x je einer von diesen
Teilsubsumtionen der Gleichung hinauslaufen.
Wir haben demgemäss nicht vier sondern zwölf elementare Inversions-
probleme zu lösen — drei Quadrupel, die wir als erste, zweite und dritte
Inversionsprobleme bezeichnen wollen.
Das „erste Inversionsproblem“ verlangt die Auflösung nach dem
unbekannten Relativ x je einer der vier Subsumtionen:
1) [FORMEL]
Die Lösung wird — wie zu sehn in leichtester Weise — vermittelt
durch eine Gruppe von Sätzen, welche ich „die ersten Inversions-
theoreme“ nenne und die im Hinblick auf ihre Symmetrie und die
cyklische Vertauschbarkeit der drei in ihnen vorkommenden Buchstaben
ganz leicht zu behalten sind. Diese Theoreme statuiren die Äquivalenz
der nachfolgend einander gleichgesetzten Subsumtionen:
2) [FORMEL].
Mit diesen Formeln sind allerdings die Theoreme zweimal ausgesprochen,
indem die zwei letzten Zeilen — jedoch in einer vollkommen gleich-
berechtigten Form — blos wiederholen, was schon die beiden ersten Zeilen
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 242. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/256>, abgerufen am 23.04.2024.
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