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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Siebente Vorlesung.

Diese Lösungsform ist aber, obzwar im Ausdruck noch einfacher
als wie die frühere 10) erscheinend, doch nicht so gut als sie, sintemal
sie, bei einem nicht schon als Wurzel glücklich erratenen u, dem x des
ersten Problemes wiederum die Spezialität auferlegt, Vollzeilen zu
haben, andere Wurzeln also, als wie solche die auch Vollzeilen besitzen,
mit ihr nicht anders als durch Erraten derselben gefunden werden
können.

Die Sätze 10 oder 11 oder 12), 13 oder 14) und 18) sollen künftig-
hin als "die zweiten Inversionstheoreme" citirt werden; auch bei
26) wäre solches zulässig.

Im nächsten Paragraphen werden wir noch eine "Erweiterung des
zweiten Inversionsproblemes" behandeln und zugehörige Sätze begründen,
die für die Lösung des dritten Inversionsproblems und seiner nächst-
liegenden Erweiterungen wesentlich sind.

§ 19. Die 4 dritten Inversionsprobleme.

Wir haben uns nun zu beschäftigen mit der vollständigen Auf-
lösung nach x einer jeden von den Gleichungen:
1) [Formel 1]

Diese Aufgabe ist schwieriger als die beiden schon gelösten
Probleme, führt aber zu wichtigen Sätzen und eröffnet interessante
Ausblicke.

Da die Gleichung jene Subsumtionen 1) der beiden vorigen Para-
graphen als ihre Teilsubsumtionen involvirt, von welchen die letztere
eine Resultante nach sich zog, so müssen wir auch diesmal auf eine
solche gefasst sein; es drängt sich die Vor-Aufgabe uns auf: die
vollständige Resultante der Elimination des x aus 1) zu ermitteln und
ihr durch geeignete Bestimmung von a und b zu genügen.

Diese Resultante lautet:
2) [Formel 2]
worin die Subsumtionszeichen auch in Gleichheitszeichen verwandelbar
sind, da nach 7) des § 17 die rückwärtigen Subsumtionen ohnehin
gelten.

Herleitung und Beweis -- für die erste Aufgabe. Wir haben
x ; b a zu erfüllen, was nach § 17 äquivalent ist mit x a j bn und die
Folgerung zulässt: x ; b (a j bn) ; b. Andrerseits sollte aber auch a x ; b

Siebente Vorlesung.

Diese Lösungsform ist aber, obzwar im Ausdruck noch einfacher
als wie die frühere 10) erscheinend, doch nicht so gut als sie, sintemal
sie, bei einem nicht schon als Wurzel glücklich erratenen u, dem x des
ersten Problemes wiederum die Spezialität auferlegt, Vollzeilen zu
haben, andere Wurzeln also, als wie solche die auch Vollzeilen besitzen,
mit ihr nicht anders als durch Erraten derselben gefunden werden
können.

Die Sätze 10 oder 11 oder 12), 13 oder 14) und 18) sollen künftig-
hin als „die zweiten Inversionstheoreme“ citirt werden; auch bei
26) wäre solches zulässig.

Im nächsten Paragraphen werden wir noch eine „Erweiterung des
zweiten Inversionsproblemes“ behandeln und zugehörige Sätze begründen,
die für die Lösung des dritten Inversionsproblems und seiner nächst-
liegenden Erweiterungen wesentlich sind.

§ 19. Die 4 dritten Inversionsprobleme.

Wir haben uns nun zu beschäftigen mit der vollständigen Auf-
lösung nach x einer jeden von den Gleichungen:
1) [Formel 1]

Diese Aufgabe ist schwieriger als die beiden schon gelösten
Probleme, führt aber zu wichtigen Sätzen und eröffnet interessante
Ausblicke.

Da die Gleichung jene Subsumtionen 1) der beiden vorigen Para-
graphen als ihre Teilsubsumtionen involvirt, von welchen die letztere
eine Resultante nach sich zog, so müssen wir auch diesmal auf eine
solche gefasst sein; es drängt sich die Vor-Aufgabe uns auf: die
vollständige Resultante der Elimination des x aus 1) zu ermitteln und
ihr durch geeignete Bestimmung von a und b zu genügen.

Diese Resultante lautet:
2) [Formel 2]
worin die Subsumtionszeichen auch in Gleichheitszeichen verwandelbar
sind, da nach 7) des § 17 die rückwärtigen Subsumtionen ohnehin
gelten.

Herleitung und Beweis — für die erste Aufgabe. Wir haben
x ; ba zu erfüllen, was nach § 17 äquivalent ist mit xa ɟ b̄̆ und die
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[256/0270] Siebente Vorlesung. Diese Lösungsform ist aber, obzwar im Ausdruck noch einfacher als wie die frühere 10) erscheinend, doch nicht so gut als sie, sintemal sie, bei einem nicht schon als Wurzel glücklich erratenen u, dem x des ersten Problemes wiederum die Spezialität auferlegt, Vollzeilen zu haben, andere Wurzeln also, als wie solche die auch Vollzeilen besitzen, mit ihr nicht anders als durch Erraten derselben gefunden werden können. Die Sätze 10 oder 11 oder 12), 13 oder 14) und 18) sollen künftig- hin als „die zweiten Inversionstheoreme“ citirt werden; auch bei 26) wäre solches zulässig. Im nächsten Paragraphen werden wir noch eine „Erweiterung des zweiten Inversionsproblemes“ behandeln und zugehörige Sätze begründen, die für die Lösung des dritten Inversionsproblems und seiner nächst- liegenden Erweiterungen wesentlich sind. § 19. Die 4 dritten Inversionsprobleme. Wir haben uns nun zu beschäftigen mit der vollständigen Auf- lösung nach x einer jeden von den Gleichungen: 1) [FORMEL] Diese Aufgabe ist schwieriger als die beiden schon gelösten Probleme, führt aber zu wichtigen Sätzen und eröffnet interessante Ausblicke. Da die Gleichung jene Subsumtionen 1) der beiden vorigen Para- graphen als ihre Teilsubsumtionen involvirt, von welchen die letztere eine Resultante nach sich zog, so müssen wir auch diesmal auf eine solche gefasst sein; es drängt sich die Vor-Aufgabe uns auf: die vollständige Resultante der Elimination des x aus 1) zu ermitteln und ihr durch geeignete Bestimmung von a und b zu genügen. Diese Resultante lautet: 2) [FORMEL] worin die Subsumtionszeichen auch in Gleichheitszeichen verwandelbar sind, da nach 7) des § 17 die rückwärtigen Subsumtionen ohnehin gelten. Herleitung und Beweis — für die erste Aufgabe. Wir haben x ; b ⋹ a zu erfüllen, was nach § 17 äquivalent ist mit x ⋹ a ɟ b̄̆ und die Folgerung zulässt: x ; b ⋹ (a ɟ b̄̆) ; b. Andrerseits sollte aber auch a ⋹ x ; b

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 256. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/270>, abgerufen am 13.07.2020.