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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 19. Die 4 dritten Inversionsprobleme.
werden, woraus im Hinblick auf das letzte Ergebniss die angegebene Re-
sultante a fortiori folgt. Dass sie, oder die mit ihr äquivalente Gleichung
20) a = (a j bn) ; b
die volle Resultante ist, geht daraus hervor, dass, sobald sie erfüllt ist,
sich in Gestalt von x = a j bn eine Wurzel der Gleichung x ; b = a an-
geben lässt.

Insbesondre involvirt diese Resultante 2) auch jene Unterresultante
a 1 ; b des zweiten Inversionsproblemes, welche in der That aus
(a j bn) ; b 1 ; b und 2) a fortiori folgt.

Es gibt noch ein eleganteres Verfahren, als das vorstehende, die Re-
sultante 2) aus 1) zu gewinnen.

Diesem liegt zugrunde ein fundamentaler

Satz. Allgemein gilt das Gespann von Formeln:
3) [Formel 1]

Beweis 1 der ersten (direkt). Es ist zu zeigen, dass Li j = Ri j, d. h.
ShPk(Slai lbl k + bnh k)bh j = Shai hbh j
für jedes i j sein muss. Wir zeigen zuerst, dass Ri j Li j, hernach das
Umgekehrte.

Das Aggregat in der Klammer links enthält (bei l = h) jedenfalls
auch den Term:
ai hbh k + bnh k = ai h + bnh k,
daher kann man den Term ai h vorziehend (wenn man will unter tauto-
logischer Wiederholung desselben) schreiben:
Li j = ShPk(ai h + etc.)bh j = Sh(ai h + Pk · etc.)bh j
was augenscheinlich als Summanden auch die rechte Seite Ri j einschliesst.

[NB. das "etc." hätte rigoros den Ausdruck:
Sl0'l hai lbl k + bnh k,
worin jedoch wegen Zulässigkeit von Tautologien der Faktor 0'l h auch
unterdrückbar.]

Für das Umgekehrte oder Li j Ri j ist etwa zu zeigen, dass Li jRni j = 0, d. h.
ShPkSl(ai lbl k + bnh k)bh jPm(ani m + bnm j) = 0
sein muss. Hierin kann man das Zeichen Pm auch bis dicht vor das Sl
nach links vorschieben -- vergl. 3) S. 113.

[Auch könnten wir dann m mit k identifizirend die beiden Produkt-
zeichen in ein einziges Pk zusammenziehen; doch ist dies hier nicht vor-
teilhaft.] Alsdann ist zu zeigen, dass für irgendwie gegebene i, j, h min-
destens ein Faktor unsres als allgemeines Glied der Sh auftretenden Doppel-
produktes gleich 0 wird, und da jeder solche Faktor eine Sl ist, so muss

Schröder, Algebra der Relative. 17

§ 19. Die 4 dritten Inversionsprobleme.
werden, woraus im Hinblick auf das letzte Ergebniss die angegebene Re-
sultante a fortiori folgt. Dass sie, oder die mit ihr äquivalente Gleichung
20) a = (a ɟ b̄̆) ; b
die volle Resultante ist, geht daraus hervor, dass, sobald sie erfüllt ist,
sich in Gestalt von x = a ɟ b̄̆ eine Wurzel der Gleichung x ; b = a an-
geben lässt.

Insbesondre involvirt diese Resultante 2) auch jene Unterresultante
a ⋹ 1 ; b des zweiten Inversionsproblemes, welche in der That aus
(a ɟ b̄̆) ; b ⋹ 1 ; b und 2) a fortiori folgt.

Es gibt noch ein eleganteres Verfahren, als das vorstehende, die Re-
sultante 2) aus 1) zu gewinnen.

Diesem liegt zugrunde ein fundamentaler

Satz. Allgemein gilt das Gespann von Formeln:
3) [Formel 1]

Beweis 1 der ersten (direkt). Es ist zu zeigen, dass Li j = Ri j, d. h.
ΣhΠk(Σlai lbl k + h k)bh j = Σhai hbh j
für jedes i j sein muss. Wir zeigen zuerst, dass Ri jLi j, hernach das
Umgekehrte.

Das Aggregat in der Klammer links enthält (bei l = h) jedenfalls
auch den Term:
ai hbh k + h k = ai h + h k,
daher kann man den Term ai h vorziehend (wenn man will unter tauto-
logischer Wiederholung desselben) schreiben:
Li j = ΣhΠk(ai h + etc.)bh j = Σh(ai h + Πk · etc.)bh j
was augenscheinlich als Summanden auch die rechte Seite Ri j einschliesst.

[NB. das „etc.“ hätte rigoros den Ausdruck:
Σl0'l hai lbl k + h k,
worin jedoch wegen Zulässigkeit von Tautologien der Faktor 0'l h auch
unterdrückbar.]

Für das Umgekehrte oder Li jRi j ist etwa zu zeigen, dass Li ji j = 0, d. h.
ΣhΠkΣl(ai lbl k + h k)bh jΠm(i m + m j) = 0
sein muss. Hierin kann man das Zeichen Πm auch bis dicht vor das Σl
nach links vorschieben — vergl. 3) S. 113.

[Auch könnten wir dann m mit k identifizirend die beiden Produkt-
zeichen in ein einziges Πk zusammenziehen; doch ist dies hier nicht vor-
teilhaft.] Alsdann ist zu zeigen, dass für irgendwie gegebene i, j, h min-
destens ein Faktor unsres als allgemeines Glied der Σh auftretenden Doppel-
produktes gleich 0 wird, und da jeder solche Faktor eine Σl ist, so muss

Schröder, Algebra der Relative. 17
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[257/0271] § 19. Die 4 dritten Inversionsprobleme. werden, woraus im Hinblick auf das letzte Ergebniss die angegebene Re- sultante a fortiori folgt. Dass sie, oder die mit ihr äquivalente Gleichung 20) a = (a ɟ b̄̆) ; b die volle Resultante ist, geht daraus hervor, dass, sobald sie erfüllt ist, sich in Gestalt von x = a ɟ b̄̆ eine Wurzel der Gleichung x ; b = a an- geben lässt. Insbesondre involvirt diese Resultante 2) auch jene Unterresultante a ⋹ 1 ; b des zweiten Inversionsproblemes, welche in der That aus (a ɟ b̄̆) ; b ⋹ 1 ; b und 2) a fortiori folgt. Es gibt noch ein eleganteres Verfahren, als das vorstehende, die Re- sultante 2) aus 1) zu gewinnen. Diesem liegt zugrunde ein fundamentaler Satz. Allgemein gilt das Gespann von Formeln: 3) [FORMEL] Beweis 1 der ersten (direkt). Es ist zu zeigen, dass Li j = Ri j, d. h. ΣhΠk(Σlai lbl k + b̄h k)bh j = Σhai hbh j für jedes i j sein muss. Wir zeigen zuerst, dass Ri j ⋹ Li j, hernach das Umgekehrte. Das Aggregat in der Klammer links enthält (bei l = h) jedenfalls auch den Term: ai hbh k + b̄h k = ai h + b̄h k, daher kann man den Term ai h vorziehend (wenn man will unter tauto- logischer Wiederholung desselben) schreiben: Li j = ΣhΠk(ai h + etc.)bh j = Σh(ai h + Πk · etc.)bh j was augenscheinlich als Summanden auch die rechte Seite Ri j einschliesst. [NB. das „etc.“ hätte rigoros den Ausdruck: Σl0'l hai lbl k + b̄h k, worin jedoch wegen Zulässigkeit von Tautologien der Faktor 0'l h auch unterdrückbar.] Für das Umgekehrte oder Li j ⋹ Ri j ist etwa zu zeigen, dass Li jR̄i j = 0, d. h. ΣhΠkΣl(ai lbl k + b̄h k)bh jΠm(āi m + b̄m j) = 0 sein muss. Hierin kann man das Zeichen Πm auch bis dicht vor das Σl nach links vorschieben — vergl. 3) S. 113. [Auch könnten wir dann m mit k identifizirend die beiden Produkt- zeichen in ein einziges Πk zusammenziehen; doch ist dies hier nicht vor- teilhaft.] Alsdann ist zu zeigen, dass für irgendwie gegebene i, j, h min- destens ein Faktor unsres als allgemeines Glied der Σh auftretenden Doppel- produktes gleich 0 wird, und da jeder solche Faktor eine Σl ist, so muss Schröder, Algebra der Relative. 17

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 257. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/271>, abgerufen am 16.07.2020.