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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 19. Zur Heuristik der Inversionsprobleme.

Mit den Annahmen [Formel 1] , [Formel 2] findet man -- nach
leichter Herstellung der Schemata zu elf Zwischenwerten --
[Formel 3]

Abbrechen thut die unendliche Entwickelung in 32) zum mindesten
immer dann, wenn in 31) f(y) = 0 wird, wo wir haben f(y) = y = finfinity(y),
und folglich aus 32) erhalten:
x = uc + (c ; b){(un + cn) j bn} ; b.

Wie, wegen c = a j bn und c ; b = a, Vergleichung mit 18) zeigt, würde
dies erst dann die richtige allgemeine Lösung von x ; b = a (auch für den
Fall des Nichtabbrechens) darstellen, wenn rechts der Faktor c als gemein-
samer Faktor vorträte.

Eine hinreichende Bedingung für das Abbrechen ist das Verschwinden
von d = c ; b · cn ; b.

[Sagt man a ; b für a, um unabhängig beliebige Parameter a, b zu
haben, so wird d = a ; b · (an j bn) ; b ; b, und bringt man die Forderung d = 0
leicht auf die Form:
a ; b ; b ; b a ; b,
welche Subsumtion mit Rücksicht auf 21) des § 18 die Kraft einer Gleichung
besitzt. Sie ist z. B. erfüllt, wenn b ; b = 1', oder aber b ; b = 1', des-
gleichen wenn a = a ; 1 System ist.]

Die vorstehenden Untersuchungen haben uns über die inversen
Operationen der beiden relativ knüpfenden Spezies (d. i. wenn man
will die "relativen Divisionen" und "Subtraktionen") einigermaassen
orientirt, auch in den Charakter unsrer Disziplin manchen Einblick
gewährt.

Als eine Moral derselben, die sich uns noch öfter aufdrängen
wird, ist zu verzeichnen, dass -- im Kontraste zur arithmetischen
Analysis -- mit der Lösung aller Teilaufgaben oder Unterprobleme
einer zusammengesetzten Aufgabe die Lösung der letzteren in unsrer
Disziplin noch keineswegs gewährleistet ist. So wäre es auch sehr
voreilig, zu glauben, dass man nunmehr auch für jede "reine"
Subsumtion oder Gleichung d. h. für jede Aufgabe, in der der Name
der Unbekannten blos einmal figurirt, die allgemeine Wurzel müsse
hinschreiben können (indem man durch von aussen nach innen fort-
schreitende Ablösung aller andern mit x verknüpften Terme diese Un-
bekannte allmälig isolirte).

Sogar das so einfache Auflösungsproblem x ; b = a selbst ist wol
noch nicht genügend erforscht. Eine Menge Fragen drängen sich noch
auf, wie z. B. (dessen "Determination" betreffend) die: wann die Wurzel

§ 19. Zur Heuristik der Inversionsprobleme.

Mit den Annahmen [Formel 1] , [Formel 2] findet man — nach
leichter Herstellung der Schemata zu elf Zwischenwerten —
[Formel 3]

Abbrechen thut die unendliche Entwickelung in 32) zum mindesten
immer dann, wenn in 31) f(y) = 0 wird, wo wir haben f(y) = y = f∞(y),
und folglich aus 32) erhalten:
x = uc + (c ; b){(ū + c̄) ɟ b̄} ; b̆.

Wie, wegen c = a ɟ b̄̆ und c ; b = a, Vergleichung mit 18) zeigt, würde
dies erst dann die richtige allgemeine Lösung von x ; b = a (auch für den
Fall des Nichtabbrechens) darstellen, wenn rechts der Faktor c als gemein-
samer Faktor vorträte.

Eine hinreichende Bedingung für das Abbrechen ist das Verschwinden
von d = c ; b · c̄ ; b.

[Sagt man a ; b für a, um unabhängig beliebige Parameter a, b zu
haben, so wird d = a ; b · (ā ɟ b̄) ; b̆ ; b, und bringt man die Forderung d = 0
leicht auf die Form:
a ; b ; b̆ ; b ⋹ a ; b,
welche Subsumtion mit Rücksicht auf 21) des § 18 die Kraft einer Gleichung
besitzt. Sie ist z. B. erfüllt, wenn b ; b̆ = 1', oder aber b̆ ; b = 1', des-
gleichen wenn a = a ; 1 System ist.]

Die vorstehenden Untersuchungen haben uns über die inversen
Operationen der beiden relativ knüpfenden Spezies (d. i. wenn man
will die „relativen Divisionen“ und „Subtraktionen“) einigermaassen
orientirt, auch in den Charakter unsrer Disziplin manchen Einblick
gewährt.

Als eine Moral derselben, die sich uns noch öfter aufdrängen
wird, ist zu verzeichnen, dass — im Kontraste zur arithmetischen
Analysis — mit der Lösung aller Teilaufgaben oder Unterprobleme
einer zusammengesetzten Aufgabe die Lösung der letzteren in unsrer
Disziplin noch keineswegs gewährleistet ist. So wäre es auch sehr
voreilig, zu glauben, dass man nunmehr auch für jede „reine“
Subsumtion oder Gleichung d. h. für jede Aufgabe, in der der Name
der Unbekannten blos einmal figurirt, die allgemeine Wurzel müsse
hinschreiben können (indem man durch von aussen nach innen fort-
schreitende Ablösung aller andern mit x verknüpften Terme diese Un-
bekannte allmälig isolirte).

Sogar das so einfache Auflösungsproblem x ; b = a selbst ist wol
noch nicht genügend erforscht. Eine Menge Fragen drängen sich noch
auf, wie z. B. (dessen „Determination“ betreffend) die: wann die Wurzel

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[277/0291] § 19. Zur Heuristik der Inversionsprobleme. Mit den Annahmen [FORMEL], [FORMEL] findet man — nach leichter Herstellung der Schemata zu elf Zwischenwerten — [FORMEL] Abbrechen thut die unendliche Entwickelung in 32) zum mindesten immer dann, wenn in 31) f(y) = 0 wird, wo wir haben f(y) = y = f∞(y), und folglich aus 32) erhalten: x = uc + (c ; b){(ū + c̄) ɟ b̄} ; b̆. Wie, wegen c = a ɟ b̄̆ und c ; b = a, Vergleichung mit 18) zeigt, würde dies erst dann die richtige allgemeine Lösung von x ; b = a (auch für den Fall des Nichtabbrechens) darstellen, wenn rechts der Faktor c als gemein- samer Faktor vorträte. Eine hinreichende Bedingung für das Abbrechen ist das Verschwinden von d = c ; b · c̄ ; b. [Sagt man a ; b für a, um unabhängig beliebige Parameter a, b zu haben, so wird d = a ; b · (ā ɟ b̄) ; b̆ ; b, und bringt man die Forderung d = 0 leicht auf die Form: a ; b ; b̆ ; b ⋹ a ; b, welche Subsumtion mit Rücksicht auf 21) des § 18 die Kraft einer Gleichung besitzt. Sie ist z. B. erfüllt, wenn b ; b̆ = 1', oder aber b̆ ; b = 1', des- gleichen wenn a = a ; 1 System ist.] Die vorstehenden Untersuchungen haben uns über die inversen Operationen der beiden relativ knüpfenden Spezies (d. i. wenn man will die „relativen Divisionen“ und „Subtraktionen“) einigermaassen orientirt, auch in den Charakter unsrer Disziplin manchen Einblick gewährt. Als eine Moral derselben, die sich uns noch öfter aufdrängen wird, ist zu verzeichnen, dass — im Kontraste zur arithmetischen Analysis — mit der Lösung aller Teilaufgaben oder Unterprobleme einer zusammengesetzten Aufgabe die Lösung der letzteren in unsrer Disziplin noch keineswegs gewährleistet ist. So wäre es auch sehr voreilig, zu glauben, dass man nunmehr auch für jede „reine“ Subsumtion oder Gleichung d. h. für jede Aufgabe, in der der Name der Unbekannten blos einmal figurirt, die allgemeine Wurzel müsse hinschreiben können (indem man durch von aussen nach innen fort- schreitende Ablösung aller andern mit x verknüpften Terme diese Un- bekannte allmälig isolirte). Sogar das so einfache Auflösungsproblem x ; b = a selbst ist wol noch nicht genügend erforscht. Eine Menge Fragen drängen sich noch auf, wie z. B. (dessen „Determination“ betreffend) die: wann die Wurzel

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 277. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/291>, abgerufen am 18.04.2024.