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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Siebente Vorlesung.
28) [Formel 1]
29) [Formel 2]

Beweise (links). Zu 26). Soll Li j = Shai h · Skbk j = 0 sein, so muss,
weil dies ein Aussagenprodukt ist, dessen Faktoren dem Wertbereich 0, 1
angehören, entweder der erste Faktor, d. h. jedes ai h, oder der zweite
Faktor, d. h. jedes bk j gleich 0 sein.

Zu 27). Soll stets 1'i j oder auch 0'i j Shai hSkbk j sein, so muss für
jedes i, j sein Shai h = 1 und Skbk j = 1, da man zu jedem j ein i angeben
kann, welches ihm gleich, sowie auch ein solches, welches ihm ungleich
ist, wo dann immer das betreffende Subjekt gleich 1 sein wird. Etc. Die
bisherigen Sätze besitzen auch einen hohen Grad von geometrischer Evidenz.
Man kann übrigens auch schliessen: 0' a ; 1 · 1 ; b, 0' a ; 1, 0' ; 1 a ; 1 ; 1,
also 1 a ; 1, etc., q. e. d.

Zu dem sehr merkwürdigen Satze 28) links lautet der Beweis:
L = Pi j(Sh kai hbk j 0'i j) = Pi(Sh kai hbk i = 0),
sintemal die Forderung für j i nichtssagend ist. Also:
L = Pi h k(ai hbk i = 0) = Ph k(Sibk iai h = 0) = Pk h{(b ; a)k h = 0} = R,
desgleichen L = Ph i(ai hSkbk i = 0) = Ph i{(a · 1 ; b)h i = 0}, etc. q. e. d.

Zu 29) ist
L = Pi j(Sh kai hbk j 1'i j) = Si j h k(ai h0'i jbk j = 0) = Pk h(Sj ibk j0'j iai h = 0) =
= Pk h{(b ; 0' ; a)k h = 0} = R, etc. q. e. d.

Statt auf die Koeffizienten zurückzugehn, kann man jedoch auch
mittelbar schliessen und hat nach dem ersten Inversionstheoreme die Reihe
von äquivalenten Transformationen -- zu 28): a ; (1 ; b) 0',
a 0' j (bn j 0) = bn j 0, a ; 1 bn, a ; 1 · b = 0, b an j 0, a ; b 0,
b ; a = 0, was auch schon aus a bn j 0 direkt erhältlich. Ebenso zu 29):
a 1' j bn j 0, d. h. sowol b ; 0' ; a 0 als 0' ; a ; 1 bn, 0' ; a ; 1 · b = 0. Etc.
Schaltete man die spätern Schemata 9) des § 27 schon hier ein, so könnte
man auch etwas umständlicher so schliessen: a ; 1 · 1 ; b 1', a ; 1 1' + 0 j bn,
a (1' + 0 j bn) j 0 = 1' j (0 + bn j 0) = 1' j bn j 0. Etc. q. e. d.

Die Sätze über Einordnung zwischen Quaderrelativen unter sich
(sowie also auch mit Systemen und Systemkonversen) verschieben wir
besser auf eine andre Gelegenheit.


Siebente Vorlesung.
28) [Formel 1]
29) [Formel 2]

Beweise (links). Zu 26). Soll Li j = Σhai h · Σkbk j = 0 sein, so muss,
weil dies ein Aussagenprodukt ist, dessen Faktoren dem Wertbereich 0, 1
angehören, entweder der erste Faktor, d. h. jedes ai h, oder der zweite
Faktor, d. h. jedes bk j gleich 0 sein.

Zu 27). Soll stets 1'i j oder auch 0'i j ⋹ Σhai hΣkbk j sein, so muss für
jedes i, j sein Σhai h = 1 und Σkbk j = 1, da man zu jedem j ein i angeben
kann, welches ihm gleich, sowie auch ein solches, welches ihm ungleich
ist, wo dann immer das betreffende Subjekt gleich 1 sein wird. Etc. Die
bisherigen Sätze besitzen auch einen hohen Grad von geometrischer Evidenz.
Man kann übrigens auch schliessen: 0' ⋹ a ; 1 · 1 ; b, 0' ⋹ a ; 1, 0' ; 1 ⋹ a ; 1 ; 1,
also 1 ⋹ a ; 1, etc., q. e. d.

Zu dem sehr merkwürdigen Satze 28) links lautet der Beweis:
L = Πi j(Σh kai hbk j ⋹ 0'i j) = Πi(Σh kai hbk i = 0),
sintemal die Forderung für j ≠ i nichtssagend ist. Also:
L = Πi h k(ai hbk i = 0) = Πh k(Σibk iai h = 0) = Πk h{(b ; a)k h = 0} = R,
desgleichen L = Πh i(ai hΣkbk i = 0) = Πh i{(ă · 1 ; b)h i = 0}, etc. q. e. d.

Zu 29) ist
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= Πk h{(b ; 0' ; a)k h = 0} = R, etc. q. e. d.

Statt auf die Koeffizienten zurückzugehn, kann man jedoch auch
mittelbar schliessen und hat nach dem ersten Inversionstheoreme die Reihe
von äquivalenten Transformationen — zu 28): a ; (1 ; b) ⋹ 0',
a ⋹ 0' ɟ (b̄̆ ɟ 0) = b̄̆ ɟ 0, a ; 1 ⋹ b̄̆, a ; 1 · b̆ = 0, b̆ ⋹ ā ɟ 0, ă ; b̆ ⋹ 0,
b ; a = 0, was auch schon aus a ⋹ b̄̆ ɟ 0 direkt erhältlich. Ebenso zu 29):
a ⋹ 1' ɟ b̄̆ ɟ 0, d. h. sowol b ; 0' ; a ⋹ 0 als 0' ; a ; 1 ⋹ b̄̆, 0' ; a ; 1 · b̆ = 0. Etc.
Schaltete man die spätern Schemata 9) des § 27 schon hier ein, so könnte
man auch etwas umständlicher so schliessen: a ; 1 · 1 ; b ⋹ 1', a ; 1 ⋹ 1' + 0 ɟ b̄,
a ⋹ (1' + 0 ɟ b̄) ɟ 0 = 1' ɟ (0 + b̄̆ ɟ 0) = 1' ɟ b̄̆ ɟ 0. Etc. q. e. d.

Die Sätze über Einordnung zwischen Quaderrelativen unter sich
(sowie also auch mit Systemen und Systemkonversen) verschieben wir
besser auf eine andre Gelegenheit.


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[292/0306] Siebente Vorlesung. 28) [FORMEL] 29) [FORMEL] Beweise (links). Zu 26). Soll Li j = Σhai h · Σkbk j = 0 sein, so muss, weil dies ein Aussagenprodukt ist, dessen Faktoren dem Wertbereich 0, 1 angehören, entweder der erste Faktor, d. h. jedes ai h, oder der zweite Faktor, d. h. jedes bk j gleich 0 sein. Zu 27). Soll stets 1'i j oder auch 0'i j ⋹ Σhai hΣkbk j sein, so muss für jedes i, j sein Σhai h = 1 und Σkbk j = 1, da man zu jedem j ein i angeben kann, welches ihm gleich, sowie auch ein solches, welches ihm ungleich ist, wo dann immer das betreffende Subjekt gleich 1 sein wird. Etc. Die bisherigen Sätze besitzen auch einen hohen Grad von geometrischer Evidenz. Man kann übrigens auch schliessen: 0' ⋹ a ; 1 · 1 ; b, 0' ⋹ a ; 1, 0' ; 1 ⋹ a ; 1 ; 1, also 1 ⋹ a ; 1, etc., q. e. d. Zu dem sehr merkwürdigen Satze 28) links lautet der Beweis: L = Πi j(Σh kai hbk j ⋹ 0'i j) = Πi(Σh kai hbk i = 0), sintemal die Forderung für j ≠ i nichtssagend ist. Also: L = Πi h k(ai hbk i = 0) = Πh k(Σibk iai h = 0) = Πk h{(b ; a)k h = 0} = R, desgleichen L = Πh i(ai hΣkbk i = 0) = Πh i{(ă · 1 ; b)h i = 0}, etc. q. e. d. Zu 29) ist L = Πi j(Σh kai hbk j ⋹ 1'i j) = Σi j h k(ai h0'i jbk j = 0) = Πk h(Σj ibk j0'j iai h = 0) = = Πk h{(b ; 0' ; a)k h = 0} = R, etc. q. e. d. Statt auf die Koeffizienten zurückzugehn, kann man jedoch auch mittelbar schliessen und hat nach dem ersten Inversionstheoreme die Reihe von äquivalenten Transformationen — zu 28): a ; (1 ; b) ⋹ 0', a ⋹ 0' ɟ (b̄̆ ɟ 0) = b̄̆ ɟ 0, a ; 1 ⋹ b̄̆, a ; 1 · b̆ = 0, b̆ ⋹ ā ɟ 0, ă ; b̆ ⋹ 0, b ; a = 0, was auch schon aus a ⋹ b̄̆ ɟ 0 direkt erhältlich. Ebenso zu 29): a ⋹ 1' ɟ b̄̆ ɟ 0, d. h. sowol b ; 0' ; a ⋹ 0 als 0' ; a ; 1 ⋹ b̄̆, 0' ; a ; 1 · b̆ = 0. Etc. Schaltete man die spätern Schemata 9) des § 27 schon hier ein, so könnte man auch etwas umständlicher so schliessen: a ; 1 · 1 ; b ⋹ 1', a ; 1 ⋹ 1' + 0 ɟ b̄, a ⋹ (1' + 0 ɟ b̄) ɟ 0 = 1' ɟ (0 + b̄̆ ɟ 0) = 1' ɟ b̄̆ ɟ 0. Etc. q. e. d. Die Sätze über Einordnung zwischen Quaderrelativen unter sich (sowie also auch mit Systemen und Systemkonversen) verschieben wir besser auf eine andre Gelegenheit.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 292. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/306>, abgerufen am 18.04.2024.