Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Achte Vorlesung.

Jener Teil unsres Theorems stellt sich dann so dar. Wird für
beliebige α, β, γ, δ
54) ᾱᾱ̆ + 0'(β̄γ̄̆ + β̄̆γ̄) + δ̄δ̄̆ = μ
genannt, so ist
55) a = αμ, b = βμ, c = γμ, d = δμ
die Lösung, das allgemeinste System von Wurzeln a, b, c, d unsrer
Resultante 39).

Beweis. Probe 1 besteht darin, zu zeigen, dass bei Einsetzung vor-
stehender Werte von a, b, c, d (nebst μ) in die Resultante 39) dieselbe
identisch in α, β, γ, δ — als eine allgemeine Formel — erfüllt ist.

Da augenscheinlich μ̆ = μ ist, erhalten wir — zunächst noch unter
Beibehaltung des μ:
(αμ + ᾰμ){1' + (βμ + γ̆μ)(β̆μ + γμ)}(δμ + δ̆μ) = 0,
oder
μ · (α + ᾰ){1' + (β + γ̆)(β̆ + γ)}(δ + δ̆) = 0,
was augenscheinlich richtig, indem die linke Seite nichts andres als μμ̄ ist.

Probe 2 verlangt zu zeigen, dass unsre Lösung auch jedes System von
Wurzeln der Resultante zu liefern fähig ist. Sei also a, b, c, d irgend
ein System von Werten, welches die Resultante erfüllt. Alsdann braucht
man, um ebendieses zu erhalten, blos α = a, β = b, γ = c und δ = d
anzunehmen. Dadurch wird μ in M übergehen, und dass aus der erfüllten
Resultante folgt:
a⋹M, b⋹M, c⋹M, d⋹M,
somit in der That a = aM, b = bM, c = cM, d = dM wird, haben wir
oben schon gezeigt. Somit stimmt auch die Probe 2, oder es ist auch die
„Adventivforderung“ von unsern Lösungen erfüllt. —

Ich hatte das Theorem systematisch gefunden, indem ich unter Be-
nutzung der benötigten von den in Bd. 1 und 2 erledigten Problemen „sym-
metrisch allgemeiner Lösungen“ zuerst die allgemeinsten Wurzeln A, B, D
der Gleichung
A(1' + B)D = 0
bestimmte, sodann den Forderungen A = Ă, D = D̆ Genüge leistete, end-
lich die Gleichungen
a + ă = A, b + c̆ = B, d + d̆ = D
nach den Unbekannten linkerhand auflöste.

Doch dürfte es zu weitläufig sein, diesen Gang mit allen seinen Sta-
dien hier detaillirt vorzulegen.

Bemerkt mag nur noch werden, dass man die Ausdrücke der beiden
Randkoeffizienten — wenn auch: auf Kosten der Symmetrie hinsichtlich
aller vier Koeffizienten — durch wesentlich einfachere ersetzen, nämlich als
das allgemeinste System der Wurzeln auch dieses hinstellen könnte: