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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 26. Das Einauge. Ermittelung seiner Charakteristik.
als eine "nie mehrdeutige Abbildung" (cf. § 30), und zugleich als das kon-
verse einer solchen auch, erscheint. Endlich muss z 0 sein.

Jenes zunächst lässt sich so ableiten:

Aus der zweiten und dritten Prämisse dürfen wir die früher ge-
zognen Folgerungen benutzen:
x ; 1 = x, 1 ; y = y.

Nun ist: z ; 1 = xy ; 1 x ; 1 · y ; 1 = y ; 1 · x
1 ; z = 1 ; xy 1 ; x · 1 ; y = y · 1 ; x,
woraus: z ; 1 · 1 ; z y ; 1 · xy · 1 ; x = xy = z,
also z ; 1 ; z z
folgt, und da die umgekehrte Subsumtion als allgemeine Formel gilt
-- vergl. 5) des § 11 und 8) des § 15, so muss in der That gelten:
3) z ; 1 ; z = z
als "eine" (und zwar eine partielle) Resultante.

Um eine (die im Kontext genannte) zweite zu gewinnen, bemerken
wir, dass nach bekanntem Satze 5) des § 6 allgemein gilt:
xn j 1' + yn j 1' (xn + yn) j 1', 1' j xn + 1' j yn 1' j (xn + yn).
Aber für x, y hatten wir einzeln schon die Konklusionen gewonnen
-- vergl. 3), 4) des § 25:
xn j 1' = xn, yn j 1' = y, 1' j xn = x, 1' j yn = yn
und zudem ist: xn + yn = zn, also:
xn + y zn j 1', x + yn 1' j zn,
woraus durch überschiebendes Multipliziren:
xy + xnyn (zn j 1')(1' j zn) oder z + xnyn (zn j 1')(1' j zn),
mithin a fortiori folgt:
4) z (zn j 1')(1' j zn),
was die zweite partielle Resultante ist.

Die bisherigen beiden sind auch für z = 0 erfüllt und können
darum vereinigt noch nicht die volle Resultante geben, vielmehr wird
als dritte partielle Resultante noch die Bedingung
5) z 0 oder 1 ; z ; 1 = 1 oder 0 j zn j 0 = 0
hinzuzutreten haben, welche aus den Prämissen 2) rechnerisch auch
wie folgt sich ableiten lässt.

Wegen y = 1 ; y ist 1 ; z = 1 ; xy = 1 ; x(1 ; y) = 1 ; x · 1 ; y nach 5)
des § 18, somit 1 ; z = y · 1 ; x und 1 ; z ; 1 = y(1 ; x) ; 1 = y ; x ; 1 nach
6) des § 18.


§ 26. Das Einauge. Ermittelung seiner Charakteristik.
als eine „nie mehrdeutige Abbildung“ (cf. § 30), und zugleich als das kon-
verse einer solchen auch, erscheint. Endlich muss z ≠ 0 sein.

Jenes zunächst lässt sich so ableiten:

Aus der zweiten und dritten Prämisse dürfen wir die früher ge-
zognen Folgerungen benutzen:
x ; 1 = x, 1 ; y = y.

Nun ist: z ; 1 = xy ; 1 ⋹ x ; 1 · y ; 1 = y ; 1 · x
1 ; z = 1 ; xy ⋹ 1 ; x · 1 ; y = y · 1 ; x,
woraus: z ; 1 · 1 ; zy ; 1 · xy · 1 ; x = xy = z,
also z ; 1 ; zz
folgt, und da die umgekehrte Subsumtion als allgemeine Formel gilt
— vergl. 5) des § 11 und 8) des § 15, so muss in der That gelten:
3) z ; 1 ; z = z
als „eine“ (und zwar eine partielle) Resultante.

Um eine (die im Kontext genannte) zweite zu gewinnen, bemerken
wir, dass nach bekanntem Satze 5) des § 6 allgemein gilt:
ɟ 1' + ɟ 1' ⋹ ( + ) ɟ 1', 1' ɟ + 1' ɟ ⋹ 1' ɟ ( + ).
Aber für x, y hatten wir einzeln schon die Konklusionen gewonnen
— vergl. 3), 4) des § 25:
ɟ 1' = , ɟ 1' = y, 1' ɟ = x, 1' ɟ =
und zudem ist: + = , also:
+ y ɟ 1', x + ⋹ 1' ɟ ,
woraus durch überschiebendes Multipliziren:
xy + x̄ȳ ⋹ ( ɟ 1')(1' ɟ ) oder z + x̄ȳ ⋹ ( ɟ 1')(1' ɟ ),
mithin a fortiori folgt:
4) z⋹ ( ɟ 1')(1' ɟ ),
was die zweite partielle Resultante ist.

Die bisherigen beiden sind auch für z = 0 erfüllt und können
darum vereinigt noch nicht die volle Resultante geben, vielmehr wird
als dritte partielle Resultante noch die Bedingung
5) z ≠ 0 oder 1 ; z ; 1 = 1 oder 0 ɟ ɟ 0 = 0
hinzuzutreten haben, welche aus den Prämissen 2) rechnerisch auch
wie folgt sich ableiten lässt.

Wegen y = 1 ; y ist 1 ; z = 1 ; xy = 1 ; x(1 ; y) = 1 ; x · 1 ; y nach 5)
des § 18, somit 1 ; z = y · 1 ; x und 1 ; z ; 1 = y(1 ; x) ; 1 = y ; ; 1 nach
6) des § 18.


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[425/0439] § 26. Das Einauge. Ermittelung seiner Charakteristik. als eine „nie mehrdeutige Abbildung“ (cf. § 30), und zugleich als das kon- verse einer solchen auch, erscheint. Endlich muss z ≠ 0 sein. Jenes zunächst lässt sich so ableiten: Aus der zweiten und dritten Prämisse dürfen wir die früher ge- zognen Folgerungen benutzen: x ; 1 = x, 1 ; y = y. Nun ist: z ; 1 = xy ; 1 ⋹ x ; 1 · y ; 1 = y ; 1 · x 1 ; z = 1 ; xy ⋹ 1 ; x · 1 ; y = y · 1 ; x, woraus: z ; 1 · 1 ; z ⋹ y ; 1 · xy · 1 ; x = xy = z, also z ; 1 ; z ⋹ z folgt, und da die umgekehrte Subsumtion als allgemeine Formel gilt — vergl. 5) des § 11 und 8) des § 15, so muss in der That gelten: 3) z ; 1 ; z = z als „eine“ (und zwar eine partielle) Resultante. Um eine (die im Kontext genannte) zweite zu gewinnen, bemerken wir, dass nach bekanntem Satze 5) des § 6 allgemein gilt: x̄ ɟ 1' + ȳ ɟ 1' ⋹ (x̄ + ȳ) ɟ 1', 1' ɟ x̄ + 1' ɟ ȳ ⋹ 1' ɟ (x̄ + ȳ). Aber für x, y hatten wir einzeln schon die Konklusionen gewonnen — vergl. 3), 4) des § 25: x̄ ɟ 1' = x̄, ȳ ɟ 1' = y, 1' ɟ x̄ = x, 1' ɟ ȳ = ȳ und zudem ist: x̄ + ȳ = z̄, also: x̄ + y ⋹ z̄ ɟ 1', x + ȳ ⋹ 1' ɟ z̄, woraus durch überschiebendes Multipliziren: xy + x̄ȳ ⋹ (z̄ ɟ 1')(1' ɟ z̄) oder z + x̄ȳ ⋹ (z̄ ɟ 1')(1' ɟ z̄), mithin a fortiori folgt: 4) z⋹ (z̄ ɟ 1')(1' ɟ z̄), was die zweite partielle Resultante ist. Die bisherigen beiden sind auch für z = 0 erfüllt und können darum vereinigt noch nicht die volle Resultante geben, vielmehr wird als dritte partielle Resultante noch die Bedingung 5) z ≠ 0 oder 1 ; z ; 1 = 1 oder 0 ɟ z̄ ɟ 0 = 0 hinzuzutreten haben, welche aus den Prämissen 2) rechnerisch auch wie folgt sich ableiten lässt. Wegen y = 1 ; y ist 1 ; z = 1 ; xy = 1 ; x(1 ; y) = 1 ; x · 1 ; y nach 5) des § 18, somit 1 ; z = y · 1 ; x und 1 ; z ; 1 = y(1 ; x) ; 1 = y ; x̆ ; 1 nach 6) des § 18.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 425. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/439>, abgerufen am 23.11.2020.