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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 28. Studien über Elimination.
das Prädikat 0') bringen lässt. Unbeschadet der Allgemeinheit können
wir also jede etwa als eine Prämisse gegebene Subsumtion von vorn-
herein als eine solche, deren Subjekt 1' ist, annehmen.

Wir wollen nun aus zwei Prämissensubsumtionen (derart), deren
jede das "Mittelglied", den terminus medius x nur einmal enthält,
dieses eliminiren lernen.

Das gelingt, sobald in der einen Prämisse das Mittelglied un-
negirt
, als x selbst, in der andern aber negirt, als xn vorkommt und
ausserdem diese Terme x und xn beide als letzte Operanden in den
Prädikaten gedachter Prämissensubsumtionen erscheinen (desgleichen
also auch, falls x sowol wie xn als erste Terme in diesen Prädikaten
figuriren sollten) -- und zwar einerlei ob sie "freie" Operationsglieder
sind, oder aber als mit noch andern, und zwar gegebnen Relativen
a, b, .. als sogenannten Parametern, verknüpfte von Klammern um-
schlossen
sind -- die Knüpfungen jedoch durchgängig als relative vor-
ausgesetzt.

Und zwar gelingt es durch geschickte Verwertung der beiden
Sätze 3) des § 8:
1' x j xn, x ; xn 0'
in Verbindung mit den Assoziations- 6) und den Grundgesetzen 7)
des § 6, welche lauteten:
a ; (b j c) a ; b j c, (a j b) ; c a j b ; c.

Der von Erfolg gekrönte Witz sei zunächst für den Fall freier
Operanden x und xn dargelegt.

Haben nämlich unsre Prämissen die Form:
1' a x, 1' b Sun xn,
wo für den Augenblick das Knüpfungszeichen uns nach Belieben
entweder den Strichpunkt (;) oder das Piuzeichen j vertreten soll --
und ebenso, jedoch ganz unabhängig davon, auch das Zeichen Sun --
so kann man, die zweite Prämisse konvertirend, dieselbe schreiben:
1' xn Sun b
und jetzt sie mit der ersten durch relatives Übermultipliziren ver-
knüpfen zu der Folgerung:
1' (a x) ; (xn Sun b).

Sind nun die Knüpfungen und Sun von gleicher Art -- beide
relative Multiplikationen, oder beide relative Additionen -- so kann
man aufgrund des Assoziationsgesetzes der relativen Knüpfungen diese
Folgerung äquivalent umschreiben in:

§ 28. Studien über Elimination.
das Prädikat 0') bringen lässt. Unbeschadet der Allgemeinheit können
wir also jede etwa als eine Prämisse gegebene Subsumtion von vorn-
herein als eine solche, deren Subjekt 1' ist, annehmen.

Wir wollen nun aus zwei Prämissensubsumtionen (derart), deren
jede das „Mittelglied“, den terminus medius x nur einmal enthält,
dieses eliminiren lernen.

Das gelingt, sobald in der einen Prämisse das Mittelglied un-
negirt
, als x selbst, in der andern aber negirt, als vorkommt und
ausserdem diese Terme x und beide als letzte Operanden in den
Prädikaten gedachter Prämissensubsumtionen erscheinen (desgleichen
also auch, falls x sowol wie als erste Terme in diesen Prädikaten
figuriren sollten) — und zwar einerlei ob sie „freie“ Operationsglieder
sind, oder aber als mit noch andern, und zwar gegebnen Relativen
a, b, ‥ als sogenannten Parametern, verknüpfte von Klammern um-
schlossen
sind — die Knüpfungen jedoch durchgängig als relative vor-
ausgesetzt.

Und zwar gelingt es durch geschickte Verwertung der beiden
Sätze 3) des § 8:
1' ⋹ x ɟ x̄̆, x ; x̄̆ ⋹ 0'
in Verbindung mit den Assoziations- 6) und den Grundgesetzen 7)
des § 6, welche lauteten:
a ; (b ɟ c) ⋹ a ; b ɟ c, (a ɟ b) ; ca ɟ b ; c.

Der von Erfolg gekrönte Witz sei zunächst für den Fall freier
Operanden x und dargelegt.

Haben nämlich unsre Prämissen die Form:
1' ⋹ ax, 1' ⋹ b,
wo für den Augenblick das Knüpfungszeichen ∘ uns nach Belieben
entweder den Strichpunkt (;) oder das Piuzeichen ɟ vertreten soll —
und ebenso, jedoch ganz unabhängig davon, auch das Zeichen ☉ —
so kann man, die zweite Prämisse konvertirend, dieselbe schreiben:
1' ⋹ x̄̆
und jetzt sie mit der ersten durch relatives Übermultipliziren ver-
knüpfen zu der Folgerung:
1' ⋹ (ax) ; (x̄̆).

Sind nun die Knüpfungen ∘ und ☉ von gleicher Art — beide
relative Multiplikationen, oder beide relative Additionen — so kann
man aufgrund des Assoziationsgesetzes der relativen Knüpfungen diese
Folgerung äquivalent umschreiben in:

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[469/0483] § 28. Studien über Elimination. das Prädikat 0') bringen lässt. Unbeschadet der Allgemeinheit können wir also jede etwa als eine Prämisse gegebene Subsumtion von vorn- herein als eine solche, deren Subjekt 1' ist, annehmen. Wir wollen nun aus zwei Prämissensubsumtionen (derart), deren jede das „Mittelglied“, den terminus medius x nur einmal enthält, dieses eliminiren lernen. Das gelingt, sobald in der einen Prämisse das Mittelglied un- negirt, als x selbst, in der andern aber negirt, als x̄ vorkommt und ausserdem diese Terme x und x̄ beide als letzte Operanden in den Prädikaten gedachter Prämissensubsumtionen erscheinen (desgleichen also auch, falls x sowol wie x̄ als erste Terme in diesen Prädikaten figuriren sollten) — und zwar einerlei ob sie „freie“ Operationsglieder sind, oder aber als mit noch andern, und zwar gegebnen Relativen a, b, ‥ als sogenannten Parametern, verknüpfte von Klammern um- schlossen sind — die Knüpfungen jedoch durchgängig als relative vor- ausgesetzt. Und zwar gelingt es durch geschickte Verwertung der beiden Sätze 3) des § 8: 1' ⋹ x ɟ x̄̆, x ; x̄̆ ⋹ 0' in Verbindung mit den Assoziations- 6) und den Grundgesetzen 7) des § 6, welche lauteten: a ; (b ɟ c) ⋹ a ; b ɟ c, (a ɟ b) ; c ⋹ a ɟ b ; c. Der von Erfolg gekrönte Witz sei zunächst für den Fall freier Operanden x und x̄ dargelegt. Haben nämlich unsre Prämissen die Form: 1' ⋹ a ∘ x, 1' ⋹ b ☉ x̄, wo für den Augenblick das Knüpfungszeichen ∘ uns nach Belieben entweder den Strichpunkt (;) oder das Piuzeichen ɟ vertreten soll — und ebenso, jedoch ganz unabhängig davon, auch das Zeichen ☉ — so kann man, die zweite Prämisse konvertirend, dieselbe schreiben: 1' ⋹ x̄̆ ☉ b̆ und jetzt sie mit der ersten durch relatives Übermultipliziren ver- knüpfen zu der Folgerung: 1' ⋹ (a ∘ x) ; (x̄̆ ☉ b̆). Sind nun die Knüpfungen ∘ und ☉ von gleicher Art — beide relative Multiplikationen, oder beide relative Additionen — so kann man aufgrund des Assoziationsgesetzes der relativen Knüpfungen diese Folgerung äquivalent umschreiben in:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 469. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/483>, abgerufen am 29.03.2024.