Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Elfte Vorlesung.

3) [Formel 1]
welche sich denen 14) und 15) des § 6 anreihen, übrigens (in u statt d)
auch schon aus 1) abgelesen werden können, indem das Produkt ein-
geordnet seinem Faktor, etc.

Durch 2) ist nun die erste Gleichung 1) bereits als vorwärtige
Subsumtion [Formel 2] etc. erwiesen.

Um nun auch die umgekehrte Subsumtion zu beweisen, könnte man
folgenden Weg einschlagen, welcher wenigstens zu einem bedingten Beweise
der Formel 1) führt, daneben uns mit einem nicht uninteressanten Auf-
lösungsprobleme bekannt macht.

Da das Produkt [Formel 3] in 1) einem jeden Faktor seinerselbst eingeordnet
ist, so wird die Einordnung desselben unter ab ; c, und damit unser Satz
sicher dann erwiesen sein, wenn es uns gelingt zu zeigen, dass es unter
den Faktoren des [Formel 4] — sagen wir bei u = x — einen gibt, welcher selbst
⋹ ab ; c ist. Diesen entdecken wir durch Auflösung der Subsumtion:
a ; xc + b ; x̄c ⋹ ab ; c,
welche auch als Gleichung ansetzbar, da die rückwärtige nach 3) ohnehin
gilt. Die Subsumtion aber zerfällt in:
(a ; xc ⋹ ab ; c)(b ; x̄c ⋹ ab ; c), was = (xc ⋹ ā̆ ɟ ab ; c)(x̄c ⋹ b̄̆ ɟ ab ; c)
nach dem ersten Inversionstheorem ist. Sonach finden wir leicht als Re-
sultante und Lösung:
c · b̆ ; {(ā + b̄) ɟ c̄} ⋹ x ⋹ c̄ + ā̆ ɟ ab ; c
oder — getrennt — als Resultante:
c⋹ā̆ ɟ ab ; c + b̄̆ ɟ ab ; c
und als Lösung (für ein arbiträres v):
x = (c̄ + ā̆ ɟ ab ; c) v + c · b̆ ; {(ā + b̄) ɟ c̄} · v̄.

Die eben erwähnte Gleichung gehörte also zu den komplizirteren, die
wir doch in geschlossener Form zu lösen vermögen.

Nebenbei lässt die gleiche Überlegung sich auch an die Gleichung 2)
anknüpfen, indem man ganz analog x aus der Forderung
ab̄ ; xc + āb ; x̄c ⋹ ab ; c
bestimmt. Man findet nur die Resultante und Lösung in etwas kompli-
zirteren Formen, und müssen die Ergebnisse wesentlich mit den vorigen
übereinstimmen, die Grenzen namentlich, zwischen denen x einzuschliessen
ist, dieselben wie vorhin sein — wohlgemerkt aber nur sofern die Resul-
tante erfüllt ist, wogegen sie im Allgemeinen, bei beliebigen a, b, c, von
den vorigen differiren. Hierin sind wieder manche Sätze verborgen. —

Dass nun unsre Resultante nicht identisch erfüllt ist, zeigt sich, ab-
gesehen von der Vergeblichkeit jedes Versuchs, sie aus den Koeffizienten