Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23.

Bild:
<< vorherige Seite
Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale.

Unter den sogenannten vollständigen elliptischen Integralen der ersten und zweiten
Gattung (den Modular- und elliptischen Quadranten nach Gudermann's Benennung)
welche zu zwei conjungirten Moduln gehören, findet bekanntlich ein einfacher, zuerst
von Legendre aufgefundener Zusammenhang statt, welcher in den jetzt gebräuch-
lichen Zeichen durch die Gleichung
[Formel 1] dargestellt wird. In der vorliegenden Abhandlung beabsichtige ich, für die Abel'schen
Integrale aller Ordnungen eine Reihe analoger Relationen zu entwickeln, welche,
wie ich glaube, nicht bekannt sind. Es findet sich zwar (Crelle's Journal, Bd.
19, S. 312) eine gelegentliche Bemerkung von Jacobi, eine von ihm aufgefundene
Verallgemeinerung des Legendre'schen Satzes betreffend; allein nach den Andeutungen,
die derselbe a. a. O. giebt, glaube ich annehmen zu dürfen, dass die Relation, welche
er im Sinne hat, mit derjenigen übereinstimme, die später Hädenkamp (Crelle's
Journal, Bd. 22, S. 184) auf dem von Jacobi angegebenen Wege hergeleitet hat. Die
Resultate indess, zu welchen ich gelangt bin, sind nicht nur von dem Hädenkamp'-
schen verschieden, sondern auch weit einfacher und mit der Legendre'schen Formel
übereinstimmender.

Die von mir entwickelten Relationen sind für die Theorie der Abel'schen Tran-
scendenten von besonderer Bedeutung. Ich beschäftige mich seit längerer Zeit mit
dieser Theorie und namentlich mit der Hauptaufgabe, die von Jacobi eingeführten
umgekehrten Functionen der Abel'schen Integrale erster Gattung wirklich darzustellen.
Es ist mir gelungen, diese Aufgabe vollständig zu lösen, auf einem Wege, welcher
von dem bisher von Göpel u. A. betretenen gänzlich verschieden ist. Ich gehe näm-
lich unmittelbar von den Integral-Gleichungen aus, durch welche jene Functionen
definirt werden, und zeige zunächst, mit Hülfe des Abel'schen Theorems, dass sie
sämmtlich Wurzeln ein und derselben algebraischen Gleichung sind, deren Coefficienten
ich sodann durch eine Anzahl von Hülfsfunctionen ausdrücke, welche den sogenannten
Th Functionen, auf welche Jacobi die elliptischen Functionen zurückgeführt hat, voll-
kommen analog sind, und gleich diesen durch unendliche, nach einem einfachen Gesetze
gebildete und beständig convergirende Reihen dargestellt werden können. Diese Reihen-

1
Beitrag zur Theorie der Abel’schen Integrale.

Unter den sogenannten vollständigen elliptischen Integralen der ersten und zweiten
Gattung (den Modular- und elliptischen Quadranten nach Gudermann’s Benennung)
welche zu zwei conjungirten Moduln gehören, findet bekanntlich ein einfacher, zuerst
von Legendre aufgefundener Zusammenhang statt, welcher in den jetzt gebräuch-
lichen Zeichen durch die Gleichung
[Formel 1] dargestellt wird. In der vorliegenden Abhandlung beabsichtige ich, für die Abel’schen
Integrale aller Ordnungen eine Reihe analoger Relationen zu entwickeln, welche,
wie ich glaube, nicht bekannt sind. Es findet sich zwar (Crelle’s Journal, Bd.
19, S. 312) eine gelegentliche Bemerkung von Jacobi, eine von ihm aufgefundene
Verallgemeinerung des Legendre’schen Satzes betreffend; allein nach den Andeutungen,
die derselbe a. a. O. giebt, glaube ich annehmen zu dürfen, dass die Relation, welche
er im Sinne hat, mit derjenigen übereinstimme, die später Hädenkamp (Crelle’s
Journal, Bd. 22, S. 184) auf dem von Jacobi angegebenen Wege hergeleitet hat. Die
Resultate indess, zu welchen ich gelangt bin, sind nicht nur von dem Hädenkamp’-
schen verschieden, sondern auch weit einfacher und mit der Legendre’schen Formel
übereinstimmender.

Die von mir entwickelten Relationen sind für die Theorie der Abel’schen Tran-
scendenten von besonderer Bedeutung. Ich beschäftige mich seit längerer Zeit mit
dieser Theorie und namentlich mit der Hauptaufgabe, die von Jacobi eingeführten
umgekehrten Functionen der Abel’schen Integrale erster Gattung wirklich darzustellen.
Es ist mir gelungen, diese Aufgabe vollständig zu lösen, auf einem Wege, welcher
von dem bisher von Göpel u. A. betretenen gänzlich verschieden ist. Ich gehe näm-
lich unmittelbar von den Integral-Gleichungen aus, durch welche jene Functionen
definirt werden, und zeige zunächst, mit Hülfe des Abel’schen Theorems, dass sie
sämmtlich Wurzeln ein und derselben algebraischen Gleichung sind, deren Coefficienten
ich sodann durch eine Anzahl von Hülfsfunctionen ausdrücke, welche den sogenannten
Θ Functionen, auf welche Jacobi die elliptischen Functionen zurückgeführt hat, voll-
kommen analog sind, und gleich diesen durch unendliche, nach einem einfachen Gesetze
gebildete und beständig convergirende Reihen dargestellt werden können. Diese Reihen-

1
<TEI>
  <text>
    <body>
      <pb facs="#f0008" n="[3]"/>
      <div n="1">
        <head> <hi rendition="#b">Beitrag zur Theorie der Abel&#x2019;schen Integrale.</hi> </head><lb/>
        <milestone rendition="#hr" unit="section"/>
        <p><hi rendition="#in">U</hi>nter den sogenannten vollständigen elliptischen Integralen der ersten und zweiten<lb/>
Gattung (den Modular- und elliptischen Quadranten nach <hi rendition="#g">Gudermann&#x2019;</hi>s Benennung)<lb/>
welche zu zwei conjungirten Moduln gehören, findet bekanntlich ein einfacher, zuerst<lb/>
von <hi rendition="#g">Legendre</hi> aufgefundener Zusammenhang statt, welcher in den jetzt gebräuch-<lb/>
lichen Zeichen durch die Gleichung<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi> dargestellt wird. In der vorliegenden Abhandlung beabsichtige ich, für die <hi rendition="#g">Abel&#x2019;</hi>schen<lb/><hi rendition="#g">Integrale</hi> aller Ordnungen eine Reihe analoger Relationen zu entwickeln, welche,<lb/>
wie ich glaube, nicht bekannt sind. Es findet sich zwar (<hi rendition="#g">Crelle</hi>&#x2019;s <hi rendition="#g">Journal</hi>, Bd.<lb/>
19, S. 312) eine gelegentliche Bemerkung von <hi rendition="#g">Jacobi</hi>, eine von ihm aufgefundene<lb/>
Verallgemeinerung des Legendre&#x2019;schen Satzes betreffend; allein nach den Andeutungen,<lb/>
die derselbe a. a. O. giebt, glaube ich annehmen zu dürfen, dass die Relation, welche<lb/>
er im Sinne hat, mit derjenigen übereinstimme, die später <hi rendition="#g">Hädenkamp</hi> (Crelle&#x2019;s<lb/>
Journal, Bd. 22, S. 184) auf dem von Jacobi angegebenen Wege hergeleitet hat. Die<lb/>
Resultate indess, zu welchen ich gelangt bin, sind nicht nur von dem Hädenkamp&#x2019;-<lb/>
schen verschieden, sondern auch weit einfacher und mit der Legendre&#x2019;schen Formel<lb/>
übereinstimmender.</p><lb/>
        <p>Die von mir entwickelten Relationen sind für die Theorie der Abel&#x2019;schen Tran-<lb/>
scendenten von besonderer Bedeutung. Ich beschäftige mich seit längerer Zeit mit<lb/>
dieser Theorie und namentlich mit der Hauptaufgabe, die von Jacobi eingeführten<lb/>
umgekehrten Functionen der Abel&#x2019;schen Integrale erster Gattung wirklich darzustellen.<lb/>
Es ist mir gelungen, diese Aufgabe vollständig zu lösen, auf einem Wege, welcher<lb/>
von dem bisher von <hi rendition="#g">Göpel</hi> u. A. betretenen gänzlich verschieden ist. Ich gehe näm-<lb/>
lich unmittelbar von den Integral-Gleichungen aus, durch welche jene Functionen<lb/>
definirt werden, und zeige zunächst, mit Hülfe des Abel&#x2019;schen Theorems, dass sie<lb/>
sämmtlich Wurzeln ein und derselben algebraischen Gleichung sind, deren Coefficienten<lb/>
ich sodann durch eine Anzahl von Hülfsfunctionen ausdrücke, welche den sogenannten<lb/><hi rendition="#i">&#x0398;</hi> Functionen, auf welche Jacobi die elliptischen Functionen zurückgeführt hat, voll-<lb/>
kommen analog sind, und gleich diesen durch unendliche, nach einem einfachen Gesetze<lb/>
gebildete und beständig convergirende Reihen dargestellt werden können. Diese Reihen-<lb/>
<fw place="bottom" type="sig">1</fw><lb/></p>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[[3]/0008] Beitrag zur Theorie der Abel’schen Integrale. Unter den sogenannten vollständigen elliptischen Integralen der ersten und zweiten Gattung (den Modular- und elliptischen Quadranten nach Gudermann’s Benennung) welche zu zwei conjungirten Moduln gehören, findet bekanntlich ein einfacher, zuerst von Legendre aufgefundener Zusammenhang statt, welcher in den jetzt gebräuch- lichen Zeichen durch die Gleichung [FORMEL] dargestellt wird. In der vorliegenden Abhandlung beabsichtige ich, für die Abel’schen Integrale aller Ordnungen eine Reihe analoger Relationen zu entwickeln, welche, wie ich glaube, nicht bekannt sind. Es findet sich zwar (Crelle’s Journal, Bd. 19, S. 312) eine gelegentliche Bemerkung von Jacobi, eine von ihm aufgefundene Verallgemeinerung des Legendre’schen Satzes betreffend; allein nach den Andeutungen, die derselbe a. a. O. giebt, glaube ich annehmen zu dürfen, dass die Relation, welche er im Sinne hat, mit derjenigen übereinstimme, die später Hädenkamp (Crelle’s Journal, Bd. 22, S. 184) auf dem von Jacobi angegebenen Wege hergeleitet hat. Die Resultate indess, zu welchen ich gelangt bin, sind nicht nur von dem Hädenkamp’- schen verschieden, sondern auch weit einfacher und mit der Legendre’schen Formel übereinstimmender. Die von mir entwickelten Relationen sind für die Theorie der Abel’schen Tran- scendenten von besonderer Bedeutung. Ich beschäftige mich seit längerer Zeit mit dieser Theorie und namentlich mit der Hauptaufgabe, die von Jacobi eingeführten umgekehrten Functionen der Abel’schen Integrale erster Gattung wirklich darzustellen. Es ist mir gelungen, diese Aufgabe vollständig zu lösen, auf einem Wege, welcher von dem bisher von Göpel u. A. betretenen gänzlich verschieden ist. Ich gehe näm- lich unmittelbar von den Integral-Gleichungen aus, durch welche jene Functionen definirt werden, und zeige zunächst, mit Hülfe des Abel’schen Theorems, dass sie sämmtlich Wurzeln ein und derselben algebraischen Gleichung sind, deren Coefficienten ich sodann durch eine Anzahl von Hülfsfunctionen ausdrücke, welche den sogenannten Θ Functionen, auf welche Jacobi die elliptischen Functionen zurückgeführt hat, voll- kommen analog sind, und gleich diesen durch unendliche, nach einem einfachen Gesetze gebildete und beständig convergirende Reihen dargestellt werden können. Diese Reihen- 1

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/8
Zitationshilfe: Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23, hier S. [3]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/8>, abgerufen am 28.03.2024.