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Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23.

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Entwickelungen gewinne ich, indem ich für die genannten Hülfsfunctionen mehrere
charakteristische Eigenschaften nachweise, durch welche sie vollständig bestimmt
werden. Dazu aber ist die Kenntniss der Relationen, welche der Gegenstand des ge-
genwärtigen Aufsatzes sind, ein wesentliches Erforderniss. Nun hat zwar der Weg,
den ich bei Behandlung der Abel'schen Transcendenten eingeschlagen, das Eigen-
thümliche, dass man auf ihm selbst in ungesuchter Weise zu jenen Relationen geführt
wird, wie ich sie denn in der That auch so zuerst gefunden habe. Es ist aber
diese Art der Herleitung einigermassen umständlich, indem namentlich die Bestimmung
einiger Constanten Weitläufigkeiten macht. Um so erwünschter war es mir, in einem
von Abel in der Abhandlung: Sur une propriete remarquable d'une classe tres etendue
de fonctions transcendentes (Oeuvres completes, Tome II, pag. 54) begründeten Theo-
reme, durch welches die bekannten Sätze über die Vertauschung von Parameter und
Argument bei der dritten Gattung der elliptischen Integrale eine sehr bemerkenswerthe
Verallgemeinerung erhalten, die eigentliche Quelle zu entdecken, aus der die in Rede
stehenden Relationen, so wie noch andere weit allgemeinere, auf eben so einfachem
als direktem Wege abgeleitet werden können.

§. 1.

Es sei R (x) eine ganze Function von x; a, b seien irgend zwei Wurzeln der
Gleichung R (x) = 0, und es werde
1. [Formel 1]
gesetzt, wo R' (x), R' (y) die ersten Differential-Coefficienten von R (x), R (y) bedeu-
ten, so dass, wie man sich leicht überzeugt, F (x, y) eine ganze Function von x, y
ist. Alsdann gilt als ein besonderer Fall des angeführten Abel'schen Theorems die
folgende Gleichung, in welcher a, b irgend zwei bestimmte Werthe der Veränderlichen
x, y bezeichnen:
2. [Formel 2]

Als nothwendige Bedingung des Bestehens dieser Gleichung ist noch hinzuzufü-
gen, dass innerhalb der Grenzen der Integration x -- y nicht = 0 werden darf.

Es ist nämlich
[Formel 3] ,
[Formel 4] ,

Entwickelungen gewinne ich, indem ich für die genannten Hülfsfunctionen mehrere
charakteristische Eigenschaften nachweise, durch welche sie vollständig bestimmt
werden. Dazu aber ist die Kenntniss der Relationen, welche der Gegenstand des ge-
genwärtigen Aufsatzes sind, ein wesentliches Erforderniss. Nun hat zwar der Weg,
den ich bei Behandlung der Abel’schen Transcendenten eingeschlagen, das Eigen-
thümliche, dass man auf ihm selbst in ungesuchter Weise zu jenen Relationen geführt
wird, wie ich sie denn in der That auch so zuerst gefunden habe. Es ist aber
diese Art der Herleitung einigermassen umständlich, indem namentlich die Bestimmung
einiger Constanten Weitläufigkeiten macht. Um so erwünschter war es mir, in einem
von Abel in der Abhandlung: Sur une propriété remarquable d’une classe trés étendue
de fonctions transcendentes (Oeuvres complètes, Tome II, pag. 54) begründeten Theo-
reme, durch welches die bekannten Sätze über die Vertauschung von Parameter und
Argument bei der dritten Gattung der elliptischen Integrale eine sehr bemerkenswerthe
Verallgemeinerung erhalten, die eigentliche Quelle zu entdecken, aus der die in Rede
stehenden Relationen, so wie noch andere weit allgemeinere, auf eben so einfachem
als direktem Wege abgeleitet werden können.

§. 1.

Es sei R (x) eine ganze Function von x; a, b seien irgend zwei Wurzeln der
Gleichung R (x) = 0, und es werde
1. [Formel 1]
gesetzt, wo R' (x), R' (y) die ersten Differential-Coefficienten von R (x), R (y) bedeu-
ten, so dass, wie man sich leicht überzeugt, F (x, y) eine ganze Function von x, y
ist. Alsdann gilt als ein besonderer Fall des angeführten Abel’schen Theorems die
folgende Gleichung, in welcher α, β irgend zwei bestimmte Werthe der Veränderlichen
x, y bezeichnen:
2. [Formel 2]

Als nothwendige Bedingung des Bestehens dieser Gleichung ist noch hinzuzufü-
gen, dass innerhalb der Grenzen der Integration xy nicht = 0 werden darf.

Es ist nämlich
[Formel 3] ,
[Formel 4] ,

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[4/0009] Entwickelungen gewinne ich, indem ich für die genannten Hülfsfunctionen mehrere charakteristische Eigenschaften nachweise, durch welche sie vollständig bestimmt werden. Dazu aber ist die Kenntniss der Relationen, welche der Gegenstand des ge- genwärtigen Aufsatzes sind, ein wesentliches Erforderniss. Nun hat zwar der Weg, den ich bei Behandlung der Abel’schen Transcendenten eingeschlagen, das Eigen- thümliche, dass man auf ihm selbst in ungesuchter Weise zu jenen Relationen geführt wird, wie ich sie denn in der That auch so zuerst gefunden habe. Es ist aber diese Art der Herleitung einigermassen umständlich, indem namentlich die Bestimmung einiger Constanten Weitläufigkeiten macht. Um so erwünschter war es mir, in einem von Abel in der Abhandlung: Sur une propriété remarquable d’une classe trés étendue de fonctions transcendentes (Oeuvres complètes, Tome II, pag. 54) begründeten Theo- reme, durch welches die bekannten Sätze über die Vertauschung von Parameter und Argument bei der dritten Gattung der elliptischen Integrale eine sehr bemerkenswerthe Verallgemeinerung erhalten, die eigentliche Quelle zu entdecken, aus der die in Rede stehenden Relationen, so wie noch andere weit allgemeinere, auf eben so einfachem als direktem Wege abgeleitet werden können. §. 1. Es sei R (x) eine ganze Function von x; a, b seien irgend zwei Wurzeln der Gleichung R (x) = 0, und es werde 1. [FORMEL] gesetzt, wo R' (x), R' (y) die ersten Differential-Coefficienten von R (x), R (y) bedeu- ten, so dass, wie man sich leicht überzeugt, F (x, y) eine ganze Function von x, y ist. Alsdann gilt als ein besonderer Fall des angeführten Abel’schen Theorems die folgende Gleichung, in welcher α, β irgend zwei bestimmte Werthe der Veränderlichen x, y bezeichnen: 2. [FORMEL] Als nothwendige Bedingung des Bestehens dieser Gleichung ist noch hinzuzufü- gen, dass innerhalb der Grenzen der Integration x — y nicht = 0 werden darf. Es ist nämlich [FORMEL], [FORMEL],

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Zitationshilfe: Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23, hier S. 4. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/9>, abgerufen am 22.03.2019.