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Wolff, Christian von: Der Anfangs-Gründe Aller Mathematischen Wiessenschaften. Bd. 4. Halle (Saale), 1710.

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Anfangs-Gründe
Tab. II.Fig. 15.
Die 32. Aufgabe.

513. Den Jnhalt eines Cörpers zu-
finden/ der beschrieben wird/ indem sich
eine halbe Parabel AMP umb ihre Se-
miordinate PM beweget.

Auflösung.

Jn diesem Falle ist das Element gleich dem
Producte aus einem Circul/ der mit MR der
Differentz zwischen der Abscisse AP und der
gantzen Axe AX beschrieben wird/ in die Dif-
ferential der Semiordinate. Setzet nun
AX = r/ MX = b/ AP = x/ so ist MR =
r - x. Wenn nun die Verhältnis des Ra-
dii zur Peripherie r : c/ so findet ihr die Pe-
ripherie so mit MR beschrieben worden (rc-
cx) : r/ folgends den Circul (r2c-2rcx + cx2):
2r. Dannenhero ist das Element (r2cdy -
2rcxdy + cx2dy) : 2r. Nun ist in der Para-
bel/ wenn der Parameter = 1/ y2 = x und
y4 = x2 daher das Element 1/2rcdy - cy2dy
+ cy4dy : 2r/ dessen Jntegral 1/2 rcy - 1/3 cy3 +
cy5 : 10r das Stücke des Cörpers exprimi-
ret/ welches von MMR beschrieben worden.

Wenn ihr für y2 seinen Werth x
setzet/ so habet ihr für eben dasselbe Stücke
1/2 rcy - 1/3 cxy + cx2y : 10r. Setzet nun ferner
r für x und b für y; so bekommet ihr für den
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An-
Anfangs-Gruͤnde
Tab. II.Fig. 15.
Die 32. Aufgabe.

513. Den Jnhalt eines Coͤrpers zu-
finden/ der beſchrieben wird/ indem ſich
eine halbe Parabel AMP umb ihre Se-
miordinate PM beweget.

Aufloͤſung.

Jn dieſem Falle iſt das Element gleich dem
Producte aus einem Circul/ der mit MR der
Differentz zwiſchen der Abſciſſe AP und der
gantzen Axe AX beſchrieben wird/ in die Dif-
ferential der Semiordinate. Setzet nun
AX = r/ MX = b/ AP = x/ ſo iſt MR =
r - x. Wenn nun die Verhaͤltnis des Ra-
dii zur Peripherie r : c/ ſo findet ihr die Pe-
ripherie ſo mit MR beſchrieben worden (rc-
cx) : r/ folgends den Circul (r2c-2rcx + cx2):
2r. Dannenhero iſt das Element (r2cdy -
2rcxdy + cx2dy) : 2r. Nun iſt in der Para-
bel/ wenn der Parameter = 1/ y2 = x und
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+ cy4dy : 2r/ deſſen Jntegral ½ rcy - ⅓ cy3 +
cy5 : 10r das Stuͤcke des Coͤrpers exprimi-
ret/ welches von MMR beſchrieben worden.

Wenn ihr fuͤr y2 ſeinen Werth x
ſetzet/ ſo habet ihr fuͤr eben daſſelbe Stuͤcke
½ rcy - ⅓ cxy + cx2y : 10r. Setzet nun ferner
r fuͤr x und b fuͤr y; ſo bekommet ihr fuͤr den
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[326/0328] Anfangs-Gruͤnde Die 32. Aufgabe. 513. Den Jnhalt eines Coͤrpers zu- finden/ der beſchrieben wird/ indem ſich eine halbe Parabel AMP umb ihre Se- miordinate PM beweget. Aufloͤſung. Jn dieſem Falle iſt das Element gleich dem Producte aus einem Circul/ der mit MR der Differentz zwiſchen der Abſciſſe AP und der gantzen Axe AX beſchrieben wird/ in die Dif- ferential der Semiordinate. Setzet nun AX = r/ MX = b/ AP = x/ ſo iſt MR = r - x. Wenn nun die Verhaͤltnis des Ra- dii zur Peripherie r : c/ ſo findet ihr die Pe- ripherie ſo mit MR beſchrieben worden (rc- cx) : r/ folgends den Circul (r2c-2rcx + cx2): 2r. Dannenhero iſt das Element (r2cdy - 2rcxdy + cx2dy) : 2r. Nun iſt in der Para- bel/ wenn der Parameter = 1/ y2 = x und y4 = x2 daher das Element ½rcdy - cy2dy + cy4dy : 2r/ deſſen Jntegral ½ rcy - ⅓ cy3 + cy5 : 10r das Stuͤcke des Coͤrpers exprimi- ret/ welches von MMR beſchrieben worden. Wenn ihr fuͤr y2 ſeinen Werth x ſetzet/ ſo habet ihr fuͤr eben daſſelbe Stuͤcke ½ rcy - ⅓ cxy + cx2y : 10r. Setzet nun ferner r fuͤr x und b fuͤr y; ſo bekommet ihr fuͤr den gantzen Coͤrper ½rcb - ⅓ crb + cr2b : 10r = (½ - ⅓ + ⅒) bcr = ([FORMEL] bcr = [FORMEL] bcr. An-

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Zitationshilfe: Wolff, Christian von: Der Anfangs-Gründe Aller Mathematischen Wiessenschaften. Bd. 4. Halle (Saale), 1710. , S. 326. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/wolff_anfangsgruende04_1710/328>, abgerufen am 25.04.2024.