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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Ausfluss aus elyptischen Oeffnungen.
versehen ist. Wie hoch muss die Fallschütze aufgezogen werden, damit der Wasserstand
auf dem Fachbaume die gegebene Höhe von 4 Fuss betrage.

In diesem Falle ist M = 15, b = 1, H = 4 und m = 0,633. Werden diese Werthe
in die Formel I, §. 112 substituirt, so erhalten wir 15 = 0,633 . 2/3 . {4 sqrt 4 -- h sqrt h} 2 sqrt 15,515,
woraus h = 2,3 folgt; der obere Rand der Schützenöffnung bleibt daher um 2,3 Fuss
unter der Oberfläche des Wassers, es muss also die Schütze auf 4 -- 2,3 = 1,7 Fuss auf-
gezogen werden.

§. 117.

Bisher haben wir den Ausfluss des Wassers aus rechtwinkeligen Querschnitten ab-
gehandelt; es kann jedoch der Fall eintreten, dass das Wasser durch eine kreisför-
mige oder elyptische Oeffnung aus einem Behälter ausfliesst. Die
höhere Analysis lehrt uns *), dass man die ausfliessende Wassermenge erhält, wenn
die Fläche der Ausflussöffnung mit jener Geschwindigkeit multiplizirt wird, womit das
Wasser durch den Mittelpunkt der Oeffnung fliesst. Hierbei ist in Bezug auf die Zu-
sammenziehung des Strahles dasselbe zu erinnern, was bei dem Ausflusse aus recht-
winkeligen Oeffnungen angeführt wurde.

*) Die Ausflussöffnung sey eine Elypse, deren grössere Achse A B = 2 a und die kleinere C D = 2 b,Fig.
23.
Tab.
46.
die Oberfläche des Wassers befinde sich in der horizontalen Linie durch E und die Höhe des
Wasserstandes ober dem Mittelpunkte sey E O = A.
Wir wollen zuerst den Ausfluss durch die Fläche des Elementes Q Q' q' q untersuchen. Wird
aus O mit der halben kleinen Achse C O = b ein Kreis C m n beschrieben und der Winkel C O m = ph
gesetzt, so ist P O = b . Cos ph und C P = b -- b . Cos ph, demnach die Höhe des Flächenelemen-
tes P p = b . d ph . Sin ph. Ferner ist P m = b . Sin ph, demnach P Q = a . Sin ph und
Q Q' = 2 a . Sin ph. Hieraus ergibt sich die Fläche des Elementes Q Q' q' q = 2 a . b . d ph . Sin2 ph.
Die Höhe des Wasserstandes über dem Elemente ist E P = A -- b . Cos ph, folglich die Geschwin-
digkeit des Wassers = 2 [Formel 1] und wenn diess in
eine Reihe aufgelösst wird = 2 [Formel 2] .
Hieraus folgt die Wassermenge, welche in 1 Sekunde durch das Flächenelement ausfliesst, oder
d M = 2 a . b . d ph . Sin2 ph [Formel 3] .
Wird diese Gleichung integrirt, so ergibt sich der Ausfluss durch das Segment Q C Q' oder
M=2a.b.2 [Formel 4]
Um den Ausfluss durch die ganze Oeffnung zu erhalten, müssen wir ph = p, mithin Sin ph = 0 und
Cos ph = -- 1 setzen, und wir erhalten M = p . a . b . 2 [Formel 5] . Die ausfliessende Was-
sermenge M ist demnach beinahe gleich dem Produkte aus der Fläche der Oeffnung (p . a . b)
multiplizirt mit der Geschwindigkeit (2 [Formel 6] ), mit welcher nämlich das Wasser durch den Mittel-
punkt O der Oeffnung fliesst.
Wenn die Höhe des Wasserstandes nur bis zum obern Rande der Oeffnung in C reicht, so ist
A = b und die in einer Sekunde ausfliessende Wassermenge M' = [Formel 7] · p . a . b . 2 [Formel 8] . Wäre die
Oeffnung ein Kreis, so ist a = b und die ausfliessende Wassermenge M'' = [Formel 9] · p . a2 . 2 [Formel 10] .
Obgleich für den Fall, wenn A = b ist, die ausfliessende Wassermenge durch die Gleichung
M' = [Formel 11] · p . a . b . 2 [Formel 12] sehr genau berechnet werden kann, so lässt sich doch hiefür auch
Gerstner's Mechanik. Band II. 21

Ausfluss aus elyptischen Oeffnungen.
versehen ist. Wie hoch muss die Fallschütze aufgezogen werden, damit der Wasserstand
auf dem Fachbaume die gegebene Höhe von 4 Fuss betrage.

In diesem Falle ist M = 15, b = 1, H = 4 und m = 0,633. Werden diese Werthe
in die Formel I, §. 112 substituirt, so erhalten wir 15 = 0,633 . ⅔ . {4 √ 4 — h √ h} 2 √ 15,515,
woraus h = 2,3 folgt; der obere Rand der Schützenöffnung bleibt daher um 2,3 Fuss
unter der Oberfläche des Wassers, es muss also die Schütze auf 4 — 2,3 = 1,7 Fuss auf-
gezogen werden.

§. 117.

Bisher haben wir den Ausfluss des Wassers aus rechtwinkeligen Querschnitten ab-
gehandelt; es kann jedoch der Fall eintreten, dass das Wasser durch eine kreisför-
mige oder elyptische Oeffnung aus einem Behälter ausfliesst. Die
höhere Analysis lehrt uns *), dass man die ausfliessende Wassermenge erhält, wenn
die Fläche der Ausflussöffnung mit jener Geschwindigkeit multiplizirt wird, womit das
Wasser durch den Mittelpunkt der Oeffnung fliesst. Hierbei ist in Bezug auf die Zu-
sammenziehung des Strahles dasselbe zu erinnern, was bei dem Ausflusse aus recht-
winkeligen Oeffnungen angeführt wurde.

*) Die Ausflussöffnung sey eine Elypse, deren grössere Achse A B = 2 a und die kleinere C D = 2 b,Fig.
23.
Tab.
46.
die Oberfläche des Wassers befinde sich in der horizontalen Linie durch E und die Höhe des
Wasserstandes ober dem Mittelpunkte sey E O = A.
Wir wollen zuerst den Ausfluss durch die Fläche des Elementes Q Q' q' q untersuchen. Wird
aus O mit der halben kleinen Achse C O = b ein Kreis C m n beschrieben und der Winkel C O m = φ
gesetzt, so ist P O = b . Cos φ und C P = b — b . Cos φ, demnach die Höhe des Flächenelemen-
tes P p = b . d φ . Sin φ. Ferner ist P m = b . Sin φ, demnach P Q = a . Sin φ und
Q Q' = 2 a . Sin φ. Hieraus ergibt sich die Fläche des Elementes Q Q' q' q = 2 a . b . d φ . Sin2 φ.
Die Höhe des Wasserstandes über dem Elemente ist E P = A — b . Cos φ, folglich die Geschwin-
digkeit des Wassers = 2 [Formel 1] und wenn diess in
eine Reihe aufgelösst wird = 2 [Formel 2] .
Hieraus folgt die Wassermenge, welche in 1 Sekunde durch das Flächenelement ausfliesst, oder
d M = 2 a . b . d φ . Sin2 φ [Formel 3] .
Wird diese Gleichung integrirt, so ergibt sich der Ausfluss durch das Segment Q C Q' oder
M=2a.b.2 [Formel 4]
Um den Ausfluss durch die ganze Oeffnung zu erhalten, müssen wir φ = π, mithin Sin φ = 0 und
Cos φ = — 1 setzen, und wir erhalten M = π . a . b . 2 [Formel 5] . Die ausfliessende Was-
sermenge M ist demnach beinahe gleich dem Produkte aus der Fläche der Oeffnung (π . a . b)
multiplizirt mit der Geschwindigkeit (2 [Formel 6] ), mit welcher nämlich das Wasser durch den Mittel-
punkt O der Oeffnung fliesst.
Wenn die Höhe des Wasserstandes nur bis zum obern Rande der Oeffnung in C reicht, so ist
A = b und die in einer Sekunde ausfliessende Wassermenge M' = [Formel 7] · π . a . b . 2 [Formel 8] . Wäre die
Oeffnung ein Kreis, so ist a = b und die ausfliessende Wassermenge M'' = [Formel 9] · π . a2 . 2 [Formel 10] .
Obgleich für den Fall, wenn A = b ist, die ausfliessende Wassermenge durch die Gleichung
M' = [Formel 11] · π . a . b . 2 [Formel 12] sehr genau berechnet werden kann, so lässt sich doch hiefür auch
Gerstner’s Mechanik. Band II. 21
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[161/0179] Ausfluss aus elyptischen Oeffnungen. versehen ist. Wie hoch muss die Fallschütze aufgezogen werden, damit der Wasserstand auf dem Fachbaume die gegebene Höhe von 4 Fuss betrage. In diesem Falle ist M = 15, b = 1, H = 4 und m = 0,633. Werden diese Werthe in die Formel I, §. 112 substituirt, so erhalten wir 15 = 0,633 . ⅔ . {4 √ 4 — h √ h} 2 √ 15,515, woraus h = 2,3 folgt; der obere Rand der Schützenöffnung bleibt daher um 2,3 Fuss unter der Oberfläche des Wassers, es muss also die Schütze auf 4 — 2,3 = 1,7 Fuss auf- gezogen werden. §. 117. Bisher haben wir den Ausfluss des Wassers aus rechtwinkeligen Querschnitten ab- gehandelt; es kann jedoch der Fall eintreten, dass das Wasser durch eine kreisför- mige oder elyptische Oeffnung aus einem Behälter ausfliesst. Die höhere Analysis lehrt uns *), dass man die ausfliessende Wassermenge erhält, wenn die Fläche der Ausflussöffnung mit jener Geschwindigkeit multiplizirt wird, womit das Wasser durch den Mittelpunkt der Oeffnung fliesst. Hierbei ist in Bezug auf die Zu- sammenziehung des Strahles dasselbe zu erinnern, was bei dem Ausflusse aus recht- winkeligen Oeffnungen angeführt wurde. *) Die Ausflussöffnung sey eine Elypse, deren grössere Achse A B = 2 a und die kleinere C D = 2 b, die Oberfläche des Wassers befinde sich in der horizontalen Linie durch E und die Höhe des Wasserstandes ober dem Mittelpunkte sey E O = A. Wir wollen zuerst den Ausfluss durch die Fläche des Elementes Q Q' q' q untersuchen. Wird aus O mit der halben kleinen Achse C O = b ein Kreis C m n beschrieben und der Winkel C O m = φ gesetzt, so ist P O = b . Cos φ und C P = b — b . Cos φ, demnach die Höhe des Flächenelemen- tes P p = b . d φ . Sin φ. Ferner ist P m = b . Sin φ, demnach P Q = a . Sin φ und Q Q' = 2 a . Sin φ. Hieraus ergibt sich die Fläche des Elementes Q Q' q' q = 2 a . b . d φ . Sin2 φ. Die Höhe des Wasserstandes über dem Elemente ist E P = A — b . Cos φ, folglich die Geschwin- digkeit des Wassers = 2 [FORMEL] und wenn diess in eine Reihe aufgelösst wird = 2 [FORMEL]. Hieraus folgt die Wassermenge, welche in 1 Sekunde durch das Flächenelement ausfliesst, oder d M = 2 a . b . d φ . Sin2 φ [FORMEL]. Wird diese Gleichung integrirt, so ergibt sich der Ausfluss durch das Segment Q C Q' oder M=2a.b.2 [FORMEL] Um den Ausfluss durch die ganze Oeffnung zu erhalten, müssen wir φ = π, mithin Sin φ = 0 und Cos φ = — 1 setzen, und wir erhalten M = π . a . b . 2 [FORMEL]. Die ausfliessende Was- sermenge M ist demnach beinahe gleich dem Produkte aus der Fläche der Oeffnung (π . a . b) multiplizirt mit der Geschwindigkeit (2 [FORMEL]), mit welcher nämlich das Wasser durch den Mittel- punkt O der Oeffnung fliesst. Wenn die Höhe des Wasserstandes nur bis zum obern Rande der Oeffnung in C reicht, so ist A = b und die in einer Sekunde ausfliessende Wassermenge M' = [FORMEL] · π . a . b . 2 [FORMEL]. Wäre die Oeffnung ein Kreis, so ist a = b und die ausfliessende Wassermenge M'' = [FORMEL] · π . a2 . 2 [FORMEL]. Obgleich für den Fall, wenn A = b ist, die ausfliessende Wassermenge durch die Gleichung M' = [FORMEL] · π . a . b . 2 [FORMEL] sehr genau berechnet werden kann, so lässt sich doch hiefür auch Gerstner’s Mechanik. Band II. 21

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 161. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/179>, abgerufen am 19.04.2024.