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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Freier Fall einer Kugel.

Die Versuche, welche Herr Eytelwein hierüber zum Behufe seines Stromquadranten
in dem Bromberger Kanal angestellt, und in der Sammlung nützlicher Aufsätze und
Nachrichten, die Baukunst betreffend, Jahrgang 1799 im I. Bande, Seite 53 bekannt ge-
macht hat, geben die Verhältnisszahl 0,7886, welche von unserm 2/3 = 0,6667 nur um
0,1219 abweicht. Die Ursache hiervon dürfte in dem Umstande liegen, dass wir in un-
serer Rechnung nur den Widerstand der Vorderfläche betrachtet und auf den sogenann-
ten verneinten Widerstand des hintern Thelles, so wie auch auf die Reibung des fe-
sten Körpers mit dem flüssigen keine Rücksicht genommen haben. Weil aber dieser
Umstand nur auf die absolute Grösse dieses Widerstandes einen Einfluss hat und die
Grössen w und [Formel 1] dadurch nicht geändert werden, so wird uns diess nicht hindern, die
Gesetze des freien Falles und die Bahn geworfener Körper in widerstehenden Mitteln
nach den Grundsätzen der Analysis vollkommen richtig darzustellen.

§. 347.

Der freie Fall einer Kugel im widerstehenden Mittel wird durch
folgende Gleichungen bestimmt. Bezeichnet r den Halbmesser der Kugel, so ist p · r3
der kubische Inhalt derselben, und setzen wir das Gewicht eines Kubikfusses der Ma-
terie der Kugel = p und das Gewicht eines Kubikfusses der Flüssigkeit, in welcher
sich die Kugel bewegt = w, so ist das Gewicht der Kugel in demselben Mittel
= (p -- w) 4/3 p · r3 und der Widerstand dieser Kugel in der Flüssigkeit
= m · w · p · r2 · [Formel 3] , wo nämlich unter m der Koeffizient für die Kugeloberfläche ver-
standen wird. Fällt daher eine Kugel durch ihr eigenes Gewicht im widerstehenden
Mittel herab, so ist ihre beschleunigende Kraft in jedem Punkte
= (p -- w) 4/3 p · r3 -- m · w·p · r2 · [Formel 4] . Nach der unten beigefügten höhern Rechnung *)

*) Der allgemeine Satz, dass die Kräfte ihren Wirkungen proporzional sind, gibt uns die Proporzion
p · 4/3 · p · r3 : 2 g · d t = (p -- w) 4/3 p · r3 -- m · w·p · r2 · [Formel 5] : d v, woraus
d v = 2 g · d t [Formel 6] folgt. Diese Gleichung zeigt uns, dass die Geschwin-
digkeit des Körpers nicht so, wie bei dem freien Falle ohne Rücksicht auf das widerstehende Mittel im
I. Bande gelehrt wurde, fortwährend zunehme, sondern dass die Beschleunigung mit der Zunahme
der Geschwindigkeit abnimmt, so zwar, dass keine Beschleunigung mehr Statt findet, oder dass die
Geschwindigkeit ihr Maximum erreicht, wenn [Formel 7] wird. Nennen wir also die
grösste Geschwindigkeit, welche der Körper durch den Fall im widerstehenden Mittel erlangen kann
= V, so ist V2 = [Formel 8] 4 g · r. Durch Substituzion dieses Werthes erhalten wir
d v = 2 g · d t [Formel 9] . Aus dieser Gleichung folgt 2 g · d t = [Formel 10] .
Das Integral dieser Gleichung ist t = [Formel 11] . nat · log [Formel 12] . Setzen wir statt d t den
gleichen Werth [Formel 13] , so erhalten wir 2 g · d s = [Formel 14] und das Integral dieser
Gleichung s = [Formel 15] . nat. log [Formel 16] .
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Freier Fall einer Kugel.

Die Versuche, welche Herr Eytelwein hierüber zum Behufe seines Stromquadranten
in dem Bromberger Kanal angestellt, und in der Sammlung nützlicher Aufsätze und
Nachrichten, die Baukunst betreffend, Jahrgang 1799 im I. Bande, Seite 53 bekannt ge-
macht hat, geben die Verhältnisszahl 0,7886, welche von unserm ⅔ = 0,6667 nur um
0,1219 abweicht. Die Ursache hiervon dürfte in dem Umstande liegen, dass wir in un-
serer Rechnung nur den Widerstand der Vorderfläche betrachtet und auf den sogenann-
ten verneinten Widerstand des hintern Thelles, so wie auch auf die Reibung des fe-
sten Körpers mit dem flüssigen keine Rücksicht genommen haben. Weil aber dieser
Umstand nur auf die absolute Grösse dieses Widerstandes einen Einfluss hat und die
Grössen w und [Formel 1] dadurch nicht geändert werden, so wird uns diess nicht hindern, die
Gesetze des freien Falles und die Bahn geworfener Körper in widerstehenden Mitteln
nach den Grundsätzen der Analysis vollkommen richtig darzustellen.

§. 347.

Der freie Fall einer Kugel im widerstehenden Mittel wird durch
folgende Gleichungen bestimmt. Bezeichnet r den Halbmesser der Kugel, so ist π · r3
der kubische Inhalt derselben, und setzen wir das Gewicht eines Kubikfusses der Ma-
terie der Kugel = p und das Gewicht eines Kubikfusses der Flüssigkeit, in welcher
sich die Kugel bewegt = w, so ist das Gewicht der Kugel in demselben Mittel
= (p — w) 4/3 π · r3 und der Widerstand dieser Kugel in der Flüssigkeit
= μ · w · π · r2 · [Formel 3] , wo nämlich unter μ der Koeffizient für die Kugeloberfläche ver-
standen wird. Fällt daher eine Kugel durch ihr eigenes Gewicht im widerstehenden
Mittel herab, so ist ihre beschleunigende Kraft in jedem Punkte
= (p — w) 4/3 π · r3 — μ · w·π · r2 · [Formel 4] . Nach der unten beigefügten höhern Rechnung *)

*) Der allgemeine Satz, dass die Kräfte ihren Wirkungen proporzional sind, gibt uns die Proporzion
p · 4/3 · π · r3 : 2 g · d t = (p — w) 4/3 π · r3 — μ · w·π · r2 · [Formel 5] : d v, woraus
d v = 2 g · d t [Formel 6] folgt. Diese Gleichung zeigt uns, dass die Geschwin-
digkeit des Körpers nicht so, wie bei dem freien Falle ohne Rücksicht auf das widerstehende Mittel im
I. Bande gelehrt wurde, fortwährend zunehme, sondern dass die Beschleunigung mit der Zunahme
der Geschwindigkeit abnimmt, so zwar, dass keine Beschleunigung mehr Statt findet, oder dass die
Geschwindigkeit ihr Maximum erreicht, wenn [Formel 7] wird. Nennen wir also die
grösste Geschwindigkeit, welche der Körper durch den Fall im widerstehenden Mittel erlangen kann
= V, so ist V2 = [Formel 8] 4 g · r. Durch Substituzion dieses Werthes erhalten wir
d v = 2 g · d t [Formel 9] . Aus dieser Gleichung folgt 2 g · d t = [Formel 10] .
Das Integral dieser Gleichung ist t = [Formel 11] . nat · log [Formel 12] . Setzen wir statt d t den
gleichen Werth [Formel 13] , so erhalten wir 2 g · d s = [Formel 14] und das Integral dieser
Gleichung s = [Formel 15] . nat. log [Formel 16] .
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[483/0501] Freier Fall einer Kugel. Die Versuche, welche Herr Eytelwein hierüber zum Behufe seines Stromquadranten in dem Bromberger Kanal angestellt, und in der Sammlung nützlicher Aufsätze und Nachrichten, die Baukunst betreffend, Jahrgang 1799 im I. Bande, Seite 53 bekannt ge- macht hat, geben die Verhältnisszahl 0,7886, welche von unserm ⅔ = 0,6667 nur um 0,1219 abweicht. Die Ursache hiervon dürfte in dem Umstande liegen, dass wir in un- serer Rechnung nur den Widerstand der Vorderfläche betrachtet und auf den sogenann- ten verneinten Widerstand des hintern Thelles, so wie auch auf die Reibung des fe- sten Körpers mit dem flüssigen keine Rücksicht genommen haben. Weil aber dieser Umstand nur auf die absolute Grösse dieses Widerstandes einen Einfluss hat und die Grössen w und [FORMEL] dadurch nicht geändert werden, so wird uns diess nicht hindern, die Gesetze des freien Falles und die Bahn geworfener Körper in widerstehenden Mitteln nach den Grundsätzen der Analysis vollkommen richtig darzustellen. §. 347. Der freie Fall einer Kugel im widerstehenden Mittel wird durch folgende Gleichungen bestimmt. Bezeichnet r den Halbmesser der Kugel, so ist [FORMEL] π · r3 der kubische Inhalt derselben, und setzen wir das Gewicht eines Kubikfusses der Ma- terie der Kugel = p und das Gewicht eines Kubikfusses der Flüssigkeit, in welcher sich die Kugel bewegt = w, so ist das Gewicht der Kugel in demselben Mittel = (p — w) 4/3 π · r3 und der Widerstand dieser Kugel in der Flüssigkeit = μ · w · π · r2 · [FORMEL], wo nämlich unter μ der Koeffizient für die Kugeloberfläche ver- standen wird. Fällt daher eine Kugel durch ihr eigenes Gewicht im widerstehenden Mittel herab, so ist ihre beschleunigende Kraft in jedem Punkte = (p — w) 4/3 π · r3 — μ · w·π · r2 · [FORMEL]. Nach der unten beigefügten höhern Rechnung *) *) Der allgemeine Satz, dass die Kräfte ihren Wirkungen proporzional sind, gibt uns die Proporzion p · 4/3 · π · r3 : 2 g · d t = (p — w) 4/3 π · r3 — μ · w·π · r2 · [FORMEL] : d v, woraus d v = 2 g · d t [FORMEL] folgt. Diese Gleichung zeigt uns, dass die Geschwin- digkeit des Körpers nicht so, wie bei dem freien Falle ohne Rücksicht auf das widerstehende Mittel im I. Bande gelehrt wurde, fortwährend zunehme, sondern dass die Beschleunigung mit der Zunahme der Geschwindigkeit abnimmt, so zwar, dass keine Beschleunigung mehr Statt findet, oder dass die Geschwindigkeit ihr Maximum erreicht, wenn [FORMEL] wird. Nennen wir also die grösste Geschwindigkeit, welche der Körper durch den Fall im widerstehenden Mittel erlangen kann = V, so ist V2 = [FORMEL] 4 g · r. Durch Substituzion dieses Werthes erhalten wir d v = 2 g · d t [FORMEL]. Aus dieser Gleichung folgt 2 g · d t = [FORMEL]. Das Integral dieser Gleichung ist t = [FORMEL]. nat · log [FORMEL]. Setzen wir statt d t den gleichen Werth [FORMEL], so erhalten wir 2 g · d s = [FORMEL] und das Integral dieser Gleichung s = [FORMEL]. nat. log [FORMEL]. 61*

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 483. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/501>, abgerufen am 25.04.2024.