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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
die Gleichung (4.) gültig sein soll,
.

Um die durch das Zeichen xPs vorgeschriebenen Differentiationen
unter dem Integralzeichen in (5.) vornehmen zu können, denke ich mir den
ganzen Raum durch eine den Punkt a, b, g in unendlich kleiner Entfernung
umgebende rings geschlossene Fläche getheilt, und nenne den unendlich klei-
nen inneren Raum S0, den umgebenden äusseren S1. Das in dem Werthe
von Ps (Gleichung (5.)) enthaltene Integral zerlege ich dem entsprechend in
zwei Theile, von denen der eine Ps0 der Integration über S0, der andere Ps1
der über S1 entspricht.

Es ist also
(5a.) .

Da Ps1 ein Potential von Erregungspunkten, die ausserhalb S0 liegen, für einen
innerhalb S0 enthaltenen Punkt ist, so ist
,
ebenso
,
also
(5b.) .

Nun setze ich
,
welche Grösse fr für r = 0 auch gleich Null wird, während aus den Gleichun-
gen (4b.) sich ergiebt, dass für sehr kleine Werthe von r , und
sich auf Grössen von der Dimension reduciren, und für r = 0

wird. Ferner setze ich
,
,
beide Integrale über den unendlich kleinen Raum S0 ausgedehnt, so dass
(5c.) .

Um zu ermitteln, von welcher Grössenordnung Ps', Ps" und Ps' sind, führe

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
die Gleichung (4.) gültig sein soll,
.

Um die durch das Zeichen ∇xΨ vorgeschriebenen Differentiationen
unter dem Integralzeichen in (5.) vornehmen zu können, denke ich mir den
ganzen Raum durch eine den Punkt α, β, γ in unendlich kleiner Entfernung
umgebende rings geschlossene Fläche getheilt, und nenne den unendlich klei-
nen inneren Raum S0, den umgebenden äuſseren S1. Das in dem Werthe
von Ψ (Gleichung (5.)) enthaltene Integral zerlege ich dem entsprechend in
zwei Theile, von denen der eine Ψ0 der Integration über S0, der andere Ψ1
der über S1 entspricht.

Es ist also
(5a.) .

Da Ψ1 ein Potential von Erregungspunkten, die auſserhalb S0 liegen, für einen
innerhalb S0 enthaltenen Punkt ist, so ist
,
ebenso
,
also
(5b.) .

Nun setze ich
,
welche Gröſse fr für r = 0 auch gleich Null wird, während aus den Gleichun-
gen (4b.) sich ergiebt, daſs für sehr kleine Werthe von r , und
sich auf Gröſsen von der Dimension reduciren, und für r = 0

wird. Ferner setze ich
,
,
beide Integrale über den unendlich kleinen Raum S0 ausgedehnt, so daſs
(5c.) .

Um zu ermitteln, von welcher Gröſsenordnung Ψ', Ψ″ und ∇Ψ' sind, führe

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[19/0029] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. die Gleichung (4.) gültig sein soll, [FORMEL]. Um die durch das Zeichen ∇xΨ vorgeschriebenen Differentiationen unter dem Integralzeichen in (5.) vornehmen zu können, denke ich mir den ganzen Raum durch eine den Punkt α, β, γ in unendlich kleiner Entfernung umgebende rings geschlossene Fläche getheilt, und nenne den unendlich klei- nen inneren Raum S0, den umgebenden äuſseren S1. Das in dem Werthe von Ψ (Gleichung (5.)) enthaltene Integral zerlege ich dem entsprechend in zwei Theile, von denen der eine Ψ0 der Integration über S0, der andere Ψ1 der über S1 entspricht. Es ist also (5a.) [FORMEL]. Da Ψ1 ein Potential von Erregungspunkten, die auſserhalb S0 liegen, für einen innerhalb S0 enthaltenen Punkt ist, so ist [FORMEL], ebenso [FORMEL], also (5b.) [FORMEL]. Nun setze ich [FORMEL], welche Gröſse fr für r = 0 auch gleich Null wird, während aus den Gleichun- gen (4b.) sich ergiebt, daſs für sehr kleine Werthe von r [FORMEL], [FORMEL] und [FORMEL] sich auf Gröſsen von der Dimension [FORMEL] reduciren, und für r = 0 [FORMEL] wird. Ferner setze ich [FORMEL], [FORMEL], beide Integrale über den unendlich kleinen Raum S0 ausgedehnt, so daſs (5c.) [FORMEL]. Um zu ermitteln, von welcher Gröſsenordnung Ψ', Ψ″ und ∇Ψ' sind, führe 3 *

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 19. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/29>, abgerufen am 29.03.2024.