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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
von derselben Form wie in Gleichung (8b.) sei. Ausserdem möge an der Ober-
fläche der festen Körper die Gleichung stattfinden. Es sei ferner Ph
das Geschwindigkeitspotential einer Schallbewegung, die im Punkte b erregt wor-
den ist, so dass in unendlich kleiner Entfernung von b Ph unendlich wird, wie
,
in unendlicher Entfernung r dagegen

sei, wo B und d nach verschiedenen Richtungen vom Anfangspunkte der Coor-
dinaten aus verschiedene Werthe haben; übrigens muss Ph wie Ps überall
sonst endlich sein, und an der Oberfläche der festen Körper .

Wir wenden nun die Gleichung (7.) auf einen Raum S an, der durch
eine mit dem unendlich grossen Radius r um den Anfangspunkt der Coordinaten
beschriebene Kugelschaale umschlossen ist, von welchem wir nur ausschliessen
alle die Theile, welche durch die festen Körper eingenommen sind. Für die
Integration an den Punkten a und b, wo Ps und Ph unendlich gross werden,
findet dieselbe Betrachtung wie bei Gleichung (7c.) statt. Wir erhalten
(9.) ,
wo Psb den Werth von Ps im Punkte b, und Pha den von Ph im Punkte a
bezeichnet. Die Integration nach do ist sowohl über die Oberflächen der vor-
handenen festen Körper auszudehnen, an denen aber , so dass
diese Theile wegfallen, als auch über die Oberfläche der Kugel. Hier wird nun
.

Wenn wir nun bedenken, dass Ps und Ph von der Form sein müssen:
,
,
wo Ps', Ph', Ps" und Ph" von der Zeit unabhängige Grössen sind, so wird

.

Da nun die Gleichung (9.) für jeden Werth von t erfüllt sein muss, so muss

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
von derselben Form wie in Gleichung (8b.) sei. Auſserdem möge an der Ober-
fläche der festen Körper die Gleichung stattfinden. Es sei ferner Φ
das Geschwindigkeitspotential einer Schallbewegung, die im Punkte b erregt wor-
den ist, so daſs in unendlich kleiner Entfernung von b Φ unendlich wird, wie
,
in unendlicher Entfernung ϱ dagegen

sei, wo B und d nach verschiedenen Richtungen vom Anfangspunkte der Coor-
dinaten aus verschiedene Werthe haben; übrigens muſs Φ wie Ψ überall
sonst endlich sein, und an der Oberfläche der festen Körper .

Wir wenden nun die Gleichung (7.) auf einen Raum S an, der durch
eine mit dem unendlich groſsen Radius ϱ um den Anfangspunkt der Coordinaten
beschriebene Kugelschaale umschlossen ist, von welchem wir nur ausschlieſsen
alle die Theile, welche durch die festen Körper eingenommen sind. Für die
Integration an den Punkten a und b, wo Ψ und Φ unendlich groſs werden,
findet dieselbe Betrachtung wie bei Gleichung (7c.) statt. Wir erhalten
(9.) ,
wo Ψb den Werth von Ψ im Punkte b, und Φa den von Φ im Punkte a
bezeichnet. Die Integration nach ist sowohl über die Oberflächen der vor-
handenen festen Körper auszudehnen, an denen aber , so daſs
diese Theile wegfallen, als auch über die Oberfläche der Kugel. Hier wird nun
.

Wenn wir nun bedenken, daſs Ψ und Φ von der Form sein müssen:
,
,
wo Ψ', Φ', Ψ″ und Φ″ von der Zeit unabhängige Gröſsen sind, so wird

.

Da nun die Gleichung (9.) für jeden Werth von t erfüllt sein muſs, so muſs

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[28/0038] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. von derselben Form wie in Gleichung (8b.) sei. Auſserdem möge an der Ober- fläche der festen Körper die Gleichung [FORMEL] stattfinden. Es sei ferner Φ das Geschwindigkeitspotential einer Schallbewegung, die im Punkte b erregt wor- den ist, so daſs in unendlich kleiner Entfernung von b Φ unendlich wird, wie [FORMEL], in unendlicher Entfernung ϱ dagegen [FORMEL] sei, wo B und d nach verschiedenen Richtungen vom Anfangspunkte der Coor- dinaten aus verschiedene Werthe haben; übrigens muſs Φ wie Ψ überall sonst endlich sein, und an der Oberfläche der festen Körper [FORMEL]. Wir wenden nun die Gleichung (7.) auf einen Raum S an, der durch eine mit dem unendlich groſsen Radius ϱ um den Anfangspunkt der Coordinaten beschriebene Kugelschaale umschlossen ist, von welchem wir nur ausschlieſsen alle die Theile, welche durch die festen Körper eingenommen sind. Für die Integration an den Punkten a und b, wo Ψ und Φ unendlich groſs werden, findet dieselbe Betrachtung wie bei Gleichung (7c.) statt. Wir erhalten (9.) [FORMEL], wo Ψb den Werth von Ψ im Punkte b, und Φa den von Φ im Punkte a bezeichnet. Die Integration nach dω ist sowohl über die Oberflächen der vor- handenen festen Körper auszudehnen, an denen aber [FORMEL], so daſs diese Theile wegfallen, als auch über die Oberfläche der Kugel. Hier wird nun [FORMEL]. Wenn wir nun bedenken, daſs Ψ und Φ von der Form sein müssen: [FORMEL], [FORMEL], wo Ψ', Φ', Ψ″ und Φ″ von der Zeit unabhängige Gröſsen sind, so wird [FORMEL] [FORMEL]. Da nun die Gleichung (9.) für jeden Werth von t erfüllt sein muſs, so muſs

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 28. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/38>, abgerufen am 28.03.2024.