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Mohr, Christian Otto: Beitrag zur Theorie des Fachwerks. T. 1. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover (1874), Sp. 509-526.

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Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
[Spaltenumbruch] [Abbildung] Fig. 15.
[Abbildung] Fig. 16.
die Hälfte der im Kräfteplane ermittelten Werthe von S als
Spannungen S ergeben. Die Ungenauigkeit der Methode in
Bezug auf die Bestimmung dieser Spannungen erkennt man
demnach aus folgender Zusammenstellung:
[Tabelle]

Aehnliche Differenzen ergeben sich für die übrigen Fül-
lungstheile, während die Fehler in der Bestimmung der Gur-
tungsspannungen im Vergleich mit den beträchtlichen Größen
dieser Spannungen aus nahe liegenden Gründen erheblich
kleiner sind. Das alte Verfahren liefert offenbar desto grö-
ßere Fehler, je mehr die Formänderungen der beiden bela-
steten Fachwerke, in welche man den Träger zerlegt, von
einander abweichen. In dem vorliegenden Falle sind diese
Abweichungen verhältnißmäßig groß, weil die Spannungen
der Vertikalständer des Fachwerks Figur 15 im Vergleich mit
denjenigen im Fachwerk Figur 16 große Verschiedenheiten auf-
weisen. Weit unbedeutender stellen sich die Fehler heraus,
wenn in den durch die Zerlegung sich ergebenden einfachen
Fachwerken die Systeme der Füllungstheile von gleicher
Form sind wie z. B. in Figur 17. In solchen Fällen wird
man unbedenklich das ältere Verfahren anwenden dürfen.

[Abbildung] Fig. 17.

Als Beispiel der Anwendung der Gleichung 2) ist in
der letzten Vertikalreihe der Tabelle die Durchbiegung
[Formel 1] des Knotenpunktes C, welcher die Länge der unteren Gurtung
halbirt, für den hier in Rede stehenden Belastungsfall be-
rechnet worden. Wenn man diesen Knotenpunkt mit Eins
belastet und die sechs überzähligen Konstruktionstheile beseitigt,
so erzeugt jene Belastung in dem übrig bleibenden einfachen
Fachwerk die Spannungen u, welche im Kräfteplan Fig. 13
Blatt 610 konstruirt und in die vorletzte Vertikalreihe der
Tabelle eingetragen sind. Die Summirung der letzten Ver-
tikalreihe ergibt für die gesuchte Durchbiegung die Größe:
[Spaltenumbruch] [Formel 2] In dem vorliegenden Falle ist der Einfluß der Längenände-
rungen der Füllungstheile auf die Größe der Durch-
biegung verschwindend klein; denn summirt man nur die den
Gurtungstheilen entsprechenden Zahlenwerthe der letzten
Vertikalreihe, so ergibt sich die Durchbiegung gleich
[Formel 3] Es ist jedoch keineswegs zulässig, hieraus allgemeine Schlüsse
zu ziehen.

Um endlich auch den Einfluß der Temperatur durch ein
Zahlenbeispiel zu erläutern, möge angenommen werden, daß
im spannunglosen Zustande des Trägers die Temperatur der
Diagonalen (5), (9), (13), (17), (21) und (25) um 15 Grad
Celsius höher sei als diejenige der übrigen Konstruktionstheile,
und daß in Folge direkter Einwirkung der Sonnenstrahlen
die Temperatur der oberen Gurtung die übereinstimmende
Temperatur aller anderen Konstruktionstheile in dem betrach-
teten Zeitpunkte um 20 Grad übersteige.

Für alle Konstruktionstheile mit Ausschluß der genann-
ten Diagonalen und Gurtungstheile kann also z. B. ange-
nommen werden
[Formel 4] für die genannten Diagonalen ist dagegen:
[Formel 5] und für die Theile der oberen Gurtung:
[Formel 6] Der Koefficient der Längenausdehnung ist für Schmiede-
eisen:
d = 0,0000123.

Hiernach und mit Benutzung der in der Tabelle auf
Blatt 609 enthaltenen Werthe von l und u sind die Summen
a u · l · d · t in der nachfolgenden Tabelle I berechnet. Die
Gleichungen 14) ergeben demnach folgende Beziehungen:
O = -- 98700000 + 14881 T1 + 371 T2
O = -- 99600000 + 371 T1 + 17307 T2 + 745 T3
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O = -- 98700000 + 371 T5 + 14881 T6.

Aus diesen Gleichungen erhält man die Werthe:
T1 = T6 = + 6500 Kilo,
T2 = T5 = + 5400 "
T3 = T4 = + 4930 "

Die von der Temperatur hervorgerufenen Spannungen
T der übrigen Konstruktionstheile sind mit Hülfe der Glei-
chungen 11) zu bestimmen und erhalten hiernach folgende
Werthe: (Tabelle II)


Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
[Spaltenumbruch] [Abbildung] Fig. 15.
[Abbildung] Fig. 16.
die Hälfte der im Kräfteplane ermittelten Werthe von S als
Spannungen S ergeben. Die Ungenauigkeit der Methode in
Bezug auf die Beſtimmung dieſer Spannungen erkennt man
demnach aus folgender Zuſammenſtellung:
[Tabelle]

Aehnliche Differenzen ergeben ſich für die übrigen Fül-
lungstheile, während die Fehler in der Beſtimmung der Gur-
tungsſpannungen im Vergleich mit den beträchtlichen Größen
dieſer Spannungen aus nahe liegenden Gründen erheblich
kleiner ſind. Das alte Verfahren liefert offenbar deſto grö-
ßere Fehler, je mehr die Formänderungen der beiden bela-
ſteten Fachwerke, in welche man den Träger zerlegt, von
einander abweichen. In dem vorliegenden Falle ſind dieſe
Abweichungen verhältnißmäßig groß, weil die Spannungen
der Vertikalſtänder des Fachwerks Figur 15 im Vergleich mit
denjenigen im Fachwerk Figur 16 große Verſchiedenheiten auf-
weiſen. Weit unbedeutender ſtellen ſich die Fehler heraus,
wenn in den durch die Zerlegung ſich ergebenden einfachen
Fachwerken die Syſteme der Füllungstheile von gleicher
Form ſind wie z. B. in Figur 17. In ſolchen Fällen wird
man unbedenklich das ältere Verfahren anwenden dürfen.

[Abbildung] Fig. 17.

Als Beiſpiel der Anwendung der Gleichung 2) iſt in
der letzten Vertikalreihe der Tabelle die Durchbiegung
[Formel 1] des Knotenpunktes C, welcher die Länge der unteren Gurtung
halbirt, für den hier in Rede ſtehenden Belaſtungsfall be-
rechnet worden. Wenn man dieſen Knotenpunkt mit Eins
belaſtet und die ſechs überzähligen Konſtruktionstheile beſeitigt,
ſo erzeugt jene Belaſtung in dem übrig bleibenden einfachen
Fachwerk die Spannungen u, welche im Kräfteplan Fig. 13
Blatt 610 konſtruirt und in die vorletzte Vertikalreihe der
Tabelle eingetragen ſind. Die Summirung der letzten Ver-
tikalreihe ergibt für die geſuchte Durchbiegung die Größe:
[Spaltenumbruch] [Formel 2] In dem vorliegenden Falle iſt der Einfluß der Längenände-
rungen der Füllungstheile auf die Größe der Durch-
biegung verſchwindend klein; denn ſummirt man nur die den
Gurtungstheilen entſprechenden Zahlenwerthe der letzten
Vertikalreihe, ſo ergibt ſich die Durchbiegung gleich
[Formel 3] Es iſt jedoch keineswegs zuläſſig, hieraus allgemeine Schlüſſe
zu ziehen.

Um endlich auch den Einfluß der Temperatur durch ein
Zahlenbeiſpiel zu erläutern, möge angenommen werden, daß
im ſpannungloſen Zuſtande des Trägers die Temperatur der
Diagonalen (5), (9), (13), (17), (21) und (25) um 15 Grad
Celſius höher ſei als diejenige der übrigen Konſtruktionstheile,
und daß in Folge direkter Einwirkung der Sonnenſtrahlen
die Temperatur der oberen Gurtung die übereinſtimmende
Temperatur aller anderen Konſtruktionstheile in dem betrach-
teten Zeitpunkte um 20 Grad überſteige.

Für alle Konſtruktionstheile mit Ausſchluß der genann-
ten Diagonalen und Gurtungstheile kann alſo z. B. ange-
nommen werden
[Formel 4] für die genannten Diagonalen iſt dagegen:
[Formel 5] und für die Theile der oberen Gurtung:
[Formel 6] Der Koefficient der Längenausdehnung iſt für Schmiede-
eiſen:
δ = 0,0000123.

Hiernach und mit Benutzung der in der Tabelle auf
Blatt 609 enthaltenen Werthe von l und u ſind die Summen
å u · l · δ · t in der nachfolgenden Tabelle I berechnet. Die
Gleichungen 14) ergeben demnach folgende Beziehungen:
O = — 98700000 + 14881 T1 + 371 T2
O = — 99600000 + 371 T1 + 17307 T2 + 745 T3
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O = — 104500000 + 898 T3 + 19463 T4 + 745 T5
O = — 99600000 + 745 T4 + 17307 T5 + 371 T6
O = — 98700000 + 371 T5 + 14881 T6.

Aus dieſen Gleichungen erhält man die Werthe:
T1 = T6 = + 6500 Kilo,
T2 = T5 = + 5400 „
T3 = T4 = + 4930 „

Die von der Temperatur hervorgerufenen Spannungen
T der übrigen Konſtruktionstheile ſind mit Hülfe der Glei-
chungen 11) zu beſtimmen und erhalten hiernach folgende
Werthe: (Tabelle II)


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Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




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Zitationshilfe: Mohr, Christian Otto: Beitrag zur Theorie des Fachwerks. T. 1. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover (1874), Sp. 509-526, S. . In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mohr_fachwerk01_1874/18>, abgerufen am 25.04.2024.