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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition.
Mit den gegebenen Prinzipien I, II, den Definitionen (1) bis (3) und
den Theoremen 1) bis 6) kommt man bereits bei den deduktiven
Schlussfolgerungen, welche uns obliegen, bis incl. der Theoreme 25) aus.

Gleichwol wollen wir an das bisherige noch einige -- etwas
subtilere -- Betrachtungen unter der Überschrift des nächsten Para-
graphen anreihen, welche die Bestimmung haben, eine berechtigte
Anforderung zu erfüllen, einem Erkenntnissbedürfniss zu genügen, das
meines Erachtens beim Anblick der Definition (3) von a b und a + b
sich aufdrängen muss. Es handelt sich um die Frage, ob die in (3)
anscheinend nur für die einseitige Verwendung dieser Symbole als
Prädikat, respektive Subjekt, gegebene Vorschrift auch deren umge-
kehrte Verwendung regelt, inwiefern sie also wirklich verdiente, als
die vollständige Definition von Produkt und Summe hingestellt zu werden.

Es werden diese Betrachtungen noch einige an sich nicht un-
interessante Theoreme und neue Formen von Definitionen liefern, die
aber, wie angedeutet, späterhin nicht wesentlich citirt zu werden
brauchen, die im Lehrgebäude nicht gerade als unentbehrliche Stütze
erscheinen.

Anfänger mögen also ohne Schaden den § 6 überschlagen und
werden dennoch in der Lage bleiben, die letzten Ziele dieses Buches
erreichen zu können.

Ich denke hiebei speziell an den immerhin möglichen und für eine
fernere Zukunft zu erhoffenden Fall einer Verwertung unsres Lehrganges
für den Logikunterricht in Gymnasialprima. Daselbst eingeführt zu werden
ist das Buch nicht bestimmt, vielmehr wird dasselbe seinen Zweck er-
reichen, wenn Lehrer, Philosophen und Mathematiker, es würdigen.

§ 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition.
(Überschlagbar.)

Zusatz 2 zur Def. (3). Unter den Voraussetzungen der Defi-
nition (3) hat jedes Gebiet x, derart, dass

x cc x
ist, die gleiche Eigenschaft wie c, dass nämlich auch
x a nebst x ba x nebst b x
sowie
x a ba + b x
ist. Dies ergibt sich einerseits nach (3)' unter zweimaliger Anwendung
des Prinzips II, und andrerseits, in Übereinstimmung damit, auch
nach (3)'' durch einmalige Anwendung von II; nämlich, um es genauer
-- z. B. links vom Mittelstriche -- darzulegen: Aus x c und c a

§ 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition.
Mit den gegebenen Prinzipien I, II, den Definitionen (1) bis (3) und
den Theoremen 1) bis 6) kommt man bereits bei den deduktiven
Schlussfolgerungen, welche uns obliegen, bis incl. der Theoreme 25) aus.

Gleichwol wollen wir an das bisherige noch einige — etwas
subtilere — Betrachtungen unter der Überschrift des nächsten Para-
graphen anreihen, welche die Bestimmung haben, eine berechtigte
Anforderung zu erfüllen, einem Erkenntnissbedürfniss zu genügen, das
meines Erachtens beim Anblick der Definition (3) von a b und a + b
sich aufdrängen muss. Es handelt sich um die Frage, ob die in (3)
anscheinend nur für die einseitige Verwendung dieser Symbole als
Prädikat, respektive Subjekt, gegebene Vorschrift auch deren umge-
kehrte Verwendung regelt, inwiefern sie also wirklich verdiente, als
die vollständige Definition von Produkt und Summe hingestellt zu werden.

Es werden diese Betrachtungen noch einige an sich nicht un-
interessante Theoreme und neue Formen von Definitionen liefern, die
aber, wie angedeutet, späterhin nicht wesentlich citirt zu werden
brauchen, die im Lehrgebäude nicht gerade als unentbehrliche Stütze
erscheinen.

Anfänger mögen also ohne Schaden den § 6 überschlagen und
werden dennoch in der Lage bleiben, die letzten Ziele dieses Buches
erreichen zu können.

Ich denke hiebei speziell an den immerhin möglichen und für eine
fernere Zukunft zu erhoffenden Fall einer Verwertung unsres Lehrganges
für den Logikunterricht in Gymnasialprima. Daselbst eingeführt zu werden
ist das Buch nicht bestimmt, vielmehr wird dasselbe seinen Zweck er-
reichen, wenn Lehrer, Philosophen und Mathematiker, es würdigen.

§ 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition.
(Überschlagbar.)

Zusatz 2 zur Def. (3). Unter den Voraussetzungen der Defi-
nition (3) hat jedes Gebiet x, derart, dass

x ⋹ cc ⋹ x
ist, die gleiche Eigenschaft wie c, dass nämlich auch
x ⋹ a nebst x ⋹ ba ⋹ x nebst b ⋹ x
sowie
x ⋹ a ba + b ⋹ x
ist. Dies ergibt sich einerseits nach (3)' unter zweimaliger Anwendung
des Prinzips II, und andrerseits, in Übereinstimmung damit, auch
nach (3)'' durch einmalige Anwendung von II; nämlich, um es genauer
— z. B. links vom Mittelstriche — darzulegen: Aus x ⋹ c und c ⋹ a

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[201/0221] § 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition. Mit den gegebenen Prinzipien I, II, den Definitionen (1) bis (3) und den Theoremen 1) bis 6) kommt man bereits bei den deduktiven Schlussfolgerungen, welche uns obliegen, bis incl. der Theoreme 25) aus. Gleichwol wollen wir an das bisherige noch einige — etwas subtilere — Betrachtungen unter der Überschrift des nächsten Para- graphen anreihen, welche die Bestimmung haben, eine berechtigte Anforderung zu erfüllen, einem Erkenntnissbedürfniss zu genügen, das meines Erachtens beim Anblick der Definition (3) von a b und a + b sich aufdrängen muss. Es handelt sich um die Frage, ob die in (3) anscheinend nur für die einseitige Verwendung dieser Symbole als Prädikat, respektive Subjekt, gegebene Vorschrift auch deren umge- kehrte Verwendung regelt, inwiefern sie also wirklich verdiente, als die vollständige Definition von Produkt und Summe hingestellt zu werden. Es werden diese Betrachtungen noch einige an sich nicht un- interessante Theoreme und neue Formen von Definitionen liefern, die aber, wie angedeutet, späterhin nicht wesentlich citirt zu werden brauchen, die im Lehrgebäude nicht gerade als unentbehrliche Stütze erscheinen. Anfänger mögen also ohne Schaden den § 6 überschlagen und werden dennoch in der Lage bleiben, die letzten Ziele dieses Buches erreichen zu können. Ich denke hiebei speziell an den immerhin möglichen und für eine fernere Zukunft zu erhoffenden Fall einer Verwertung unsres Lehrganges für den Logikunterricht in Gymnasialprima. Daselbst eingeführt zu werden ist das Buch nicht bestimmt, vielmehr wird dasselbe seinen Zweck er- reichen, wenn Lehrer, Philosophen und Mathematiker, es würdigen. § 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition. (Überschlagbar.) Zusatz 2 zur Def. (3). Unter den Voraussetzungen der Defi- nition (3) hat jedes Gebiet x, derart, dass x ⋹ c c ⋹ x ist, die gleiche Eigenschaft wie c, dass nämlich auch x ⋹ a nebst x ⋹ b a ⋹ x nebst b ⋹ x sowie x ⋹ a b a + b ⋹ x ist. Dies ergibt sich einerseits nach (3)' unter zweimaliger Anwendung des Prinzips II, und andrerseits, in Übereinstimmung damit, auch nach (3)'' durch einmalige Anwendung von II; nämlich, um es genauer — z. B. links vom Mittelstriche — darzulegen: Aus x ⋹ c und c ⋹ a

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 201. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/221>, abgerufen am 23.04.2024.