Existenz des Definirten insofern verbürgen, als sie es gewissermassen selber erzeugen oder schöpferisch einführen.
Sobald wir aber jenen unter die "Gebiete" aufgenommenen Sym- bolen eine Bedeutung unterlegen, behaupten, dass es der Anschauung zugängliche, wirkliche Gebiete gebe von den bezüglichen Eigenschaften, fügen wir unsern Definitionen gewisse Postulate hinzu, wir stellen Forderungen über Gebietnachweise als allgemein erfüllbare hin, bezüg- lich deren wir uns lediglich auf die Anschauung zu berufen vermögen.
Ganz allein bezüglich der Null werden wir solchen Nachweis als nicht ausführbar erkennen, und darf ich die Konstatirung des Gegen- teils wol für den Augenblick als ein "negatives" Postulat bezeichnen.
((1x)) Negatives Postulat.
((1+)) (Positives) Postulat.
Es gibt kein eigentliches Gebiet von den Eigenschaften, welche Def. (2x) dem Symbole 0 auferlegt. Es lassen sich nämlich Gebiete angeben, die einander ausschliessen*), soge- nannte "disjunkte" Gebiete, die kein Element gemein haben. Da die 0 in jedem Gebiet enthalten, allen ge- meinsam sein soll, so kann sie nur ein "leeres" Gebiet sein, welches kein Element der Mannigfaltigkeit enthält. Trotzdem als ein "Gebiet" derselben charakterisirt, kann die Null auch nichts, was etwa ausser- halb der Mannigfaltigkeit läge, ent- halten, sie kann nur dem Begriffe des "Nichts" entsprechen. Nach Ad- jungirung des letzteren ist in der That dem Sprachgebrauch ent- sprechend zu sagen: Jedes Gebiet enthält seine eigenen Teile sowie Elemente und sonst "nichts". Das Nullgebiet wird so von den einge- führten das einzige uneigentliche oder fingirte, eingebildete, angeb- liche Gebiet bleiben.
Die Elemente (und Gebiete) der Mannigfaltigkeit [seien resp.] sind miteinander alle verträglich, sodass wir vermögen, die Mannigfaltigkeit als ein Ganzes zu denken. In dieser ist dana jedes Gebiet derselben ent- halten -- einschliesslich des ad- jungirten Nullgebietes -- gemäss den Anforderungen (2+); und hin- dert nichts, sie selbst als das grösste der in ihr enthaltenen Gebiete, als ein wirkliches Gebiet zu bezeichnen. Dieses bildet nun die dem Symbole 1 zukommende Bedeutung, welches so- nach dem Begriffe "des Ganzen" oder "Alles" innerhalb der vorausgesetz ten Mannigfaltigkeit entspricht.
*) Die hier kursiv gedruckten Worte bilden den positiven Inhalt auch dieses Postulates, sie sprechen die Forderung aus, der man eben faktisch genügen kann.
Dritte Vorlesung.
Existenz des Definirten insofern verbürgen, als sie es gewissermassen selber erzeugen oder schöpferisch einführen.
Sobald wir aber jenen unter die „Gebiete“ aufgenommenen Sym- bolen eine Bedeutung unterlegen, behaupten, dass es der Anschauung zugängliche, wirkliche Gebiete gebe von den bezüglichen Eigenschaften, fügen wir unsern Definitionen gewisse Postulate hinzu, wir stellen Forderungen über Gebietnachweise als allgemein erfüllbare hin, bezüg- lich deren wir uns lediglich auf die Anschauung zu berufen vermögen.
Ganz allein bezüglich der Null werden wir solchen Nachweis als nicht ausführbar erkennen, und darf ich die Konstatirung des Gegen- teils wol für den Augenblick als ein „negatives“ Postulat bezeichnen.
((1×)) Negatives Postulat.
((1+)) (Positives) Postulat.
Es gibt kein eigentliches Gebiet von den Eigenschaften, welche Def. (2×) dem Symbole 0 auferlegt. Es lassen sich nämlich Gebiete angeben, die einander ausschliessen*), soge- nannte „disjunkte“ Gebiete, die kein Element gemein haben. Da die 0 in jedem Gebiet enthalten, allen ge- meinsam sein soll, so kann sie nur ein „leeres“ Gebiet sein, welches kein Element der Mannigfaltigkeit enthält. Trotzdem als ein „Gebiet“ derselben charakterisirt, kann die Null auch nichts, was etwa ausser- halb der Mannigfaltigkeit läge, ent- halten, sie kann nur dem Begriffe des „Nichts“ entsprechen. Nach Ad- jungirung des letzteren ist in der That dem Sprachgebrauch ent- sprechend zu sagen: Jedes Gebiet enthält seine eigenen Teile sowie Elemente und sonst „nichts“. Das Nullgebiet wird so von den einge- führten das einzige uneigentliche oder fingirte, eingebildete, angeb- liche Gebiet bleiben.
Die Elemente (und Gebiete) der Mannigfaltigkeit [seien resp.] sind miteinander alle verträglich, sodass wir vermögen, die Mannigfaltigkeit als ein Ganzes zu denken. In dieser ist dana jedes Gebiet derselben ent- halten — einschliesslich des ad- jungirten Nullgebietes — gemäss den Anforderungen (2+); und hin- dert nichts, sie selbst als das grösste der in ihr enthaltenen Gebiete, als ein wirkliches Gebiet zu bezeichnen. Dieses bildet nun die dem Symbole 1 zukommende Bedeutung, welches so- nach dem Begriffe „des Ganzen“ oder „Alles“ innerhalb der vorausgesetz ten Mannigfaltigkeit entspricht.
*) Die hier kursiv gedruckten Worte bilden den positiven Inhalt auch dieses Postulates, sie sprechen die Forderung aus, der man eben faktisch genügen kann.
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Dritte Vorlesung.
Existenz des Definirten insofern verbürgen, als sie es gewissermassen
selber erzeugen oder schöpferisch einführen.
Sobald wir aber jenen unter die „Gebiete“ aufgenommenen Sym-
bolen eine Bedeutung unterlegen, behaupten, dass es der Anschauung
zugängliche, wirkliche Gebiete gebe von den bezüglichen Eigenschaften,
fügen wir unsern Definitionen gewisse Postulate hinzu, wir stellen
Forderungen über Gebietnachweise als allgemein erfüllbare hin, bezüg-
lich deren wir uns lediglich auf die Anschauung zu berufen vermögen.
Ganz allein bezüglich der Null werden wir solchen Nachweis als
nicht ausführbar erkennen, und darf ich die Konstatirung des Gegen-
teils wol für den Augenblick als ein „negatives“ Postulat bezeichnen.
((1×)) Negatives Postulat. ((1+)) (Positives) Postulat.
Es gibt kein eigentliches Gebiet
von den Eigenschaften, welche Def.
(2×) dem Symbole 0 auferlegt. Es
lassen sich nämlich Gebiete angeben,
die einander ausschliessen *), soge-
nannte „disjunkte“ Gebiete, die kein
Element gemein haben. Da die 0
in jedem Gebiet enthalten, allen ge-
meinsam sein soll, so kann sie nur
ein „leeres“ Gebiet sein, welches
kein Element der Mannigfaltigkeit
enthält. Trotzdem als ein „Gebiet“
derselben charakterisirt, kann die
Null auch nichts, was etwa ausser-
halb der Mannigfaltigkeit läge, ent-
halten, sie kann nur dem Begriffe
des „Nichts“ entsprechen. Nach Ad-
jungirung des letzteren ist in der
That dem Sprachgebrauch ent-
sprechend zu sagen: Jedes Gebiet
enthält seine eigenen Teile sowie
Elemente und sonst „nichts“. Das
Nullgebiet wird so von den einge-
führten das einzige uneigentliche
oder fingirte, eingebildete, angeb-
liche Gebiet bleiben. Die Elemente (und Gebiete) der
Mannigfaltigkeit [seien resp.] sind
miteinander alle verträglich, sodass
wir vermögen, die Mannigfaltigkeit
als ein Ganzes zu denken. In dieser
ist dana jedes Gebiet derselben ent-
halten — einschliesslich des ad-
jungirten Nullgebietes — gemäss
den Anforderungen (2+); und hin-
dert nichts, sie selbst als das grösste
der in ihr enthaltenen Gebiete, als
ein wirkliches Gebiet zu bezeichnen.
Dieses bildet nun die dem Symbole 1
zukommende Bedeutung, welches so-
nach dem Begriffe „des Ganzen“ oder
„Alles“ innerhalb der vorausgesetz
ten Mannigfaltigkeit entspricht.
*) Die hier kursiv gedruckten Worte bilden den positiven Inhalt auch dieses
Postulates, sie sprechen die Forderung aus, der man eben faktisch genügen kann.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 212. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/232>, abgerufen am 20.04.2024.
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