Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Bild:
<< vorherige Seite

Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.
ph111, ph110, ph101, ph100, ph011, ph010, ph001, ph000
a, b, c, d, e, f, g, h.

Als Resultante der Elimination von a, b, g aus den drei Gleichungen:
x = a a b g + b a b g1 + c a b1 g + d a b1 g1 + e a1 b g + f a1 b g1 + g a1 b1 g + h a1 b1 g1,
y = a b g a + ..., z = a g a b + ...
ist dann gefunden:
0 = x y z a1 (b1 + c1 + e1) (d1 + f1 + g1) h1 +
+ (x1 y z + x y1 z + x y z1) (b1 e1 + b1 c1 + c1 e1 + b c e) (d1 g1 + d1 f1 + f1 g1 + d f g) +
+ (x y1 z1 + x1 y z1 + x1 y1 z) (b e + b c + c e + b1 c1 e1) (d g + d f + f g + d1 f1 g1) +
+ x1 y1 z1 a (b + c + e) (d + f + g) h.

Soll sich dies in
0 = x y z + x1 y1 z1
zusammenziehen -- wie es doch der Fall sein müsste, wenn diese Gleichung
eine symmetrisch-allgemeine Lösung x = ph (a, b, g), etc. in drei arbiträren
Parametern a, b, g besässe -- so müssen der erste und der letzte Koeffi-
zient gleich 1 gemacht werden (durch geeignete Bestimmung von a, b, c,
d, e, f, g, h) während die beiden mittleren Koeffizienten verschwinden.
Jene beiden Gleichungen:
a1 (b1 + c1 + e1) (d1 + f1 + g1) h1 = 1 = a (b + c + e) (d + f + g) h
geben aber durch Kontraposition:
a + h + b c e + d f g = 0 und a1 + h1 + b1 c1 e1 + d1 f1 g1 = 0
und involviren Widersprüche miteinander, wie diesen: dass gleichzeitig
a = 0 und a1 = 0 sein müsste (desgleichen h + h1 = 0, anstatt = 1).
Vergl. auch Th. 24x).

Es geht hieraus von neuem die Unmöglichkeit hervor, die Gleichung
R2 = 0 (und damit auch die R6 resp. R6' = 0) in drei Parametern sym-
metrisch allgemein zu lösen.


Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.
φ111, φ110, φ101, φ100, φ011, φ010, φ001, φ000
a, b, c, d, e, f, g, h.

Als Resultante der Elimination von α, β, γ aus den drei Gleichungen:
x = a α β γ + b α β γ1 + c α β1 γ + d α β1 γ1 + e α1 β γ + f α1 β γ1 + g α1 β1 γ + h α1 β1 γ1,
y = a β γ α + …, z = a γ α β + …
ist dann gefunden:
0 = x y z a1 (b1 + c1 + e1) (d1 + f1 + g1) h1 +
+ (x1 y z + x y1 z + x y z1) (b1 e1 + b1 c1 + c1 e1 + b c e) (d1 g1 + d1 f1 + f1 g1 + d f g) +
+ (x y1 z1 + x1 y z1 + x1 y1 z) (b e + b c + c e + b1 c1 e1) (d g + d f + f g + d1 f1 g1) +
+ x1 y1 z1 a (b + c + e) (d + f + g) h.

Soll sich dies in
0 = x y z + x1 y1 z1
zusammenziehen — wie es doch der Fall sein müsste, wenn diese Gleichung
eine symmetrisch-allgemeine Lösung x = φ (α, β, γ), etc. in drei arbiträren
Parametern α, β, γ besässe — so müssen der erste und der letzte Koeffi-
zient gleich 1 gemacht werden (durch geeignete Bestimmung von a, b, c,
d, e, f, g, h) während die beiden mittleren Koeffizienten verschwinden.
Jene beiden Gleichungen:
a1 (b1 + c1 + e1) (d1 + f1 + g1) h1 = 1 = a (b + c + e) (d + f + g) h
geben aber durch Kontraposition:
a + h + b c e + d f g = 0 und a1 + h1 + b1 c1 e1 + d1 f1 g1 = 0
und involviren Widersprüche miteinander, wie diesen: dass gleichzeitig
a = 0 und a1 = 0 sein müsste (desgleichen h + h1 = 0, anstatt = 1).
Vergl. auch Th. 24×).

Es geht hieraus von neuem die Unmöglichkeit hervor, die Gleichung
R2 = 0 (und damit auch die R6 resp. R6' = 0) in drei Parametern sym-
metrisch allgemein zu lösen.


<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p>
            <pb facs="#f0719" n="699"/>
            <fw place="top" type="header">Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.</fw><lb/> <hi rendition="#c"><hi rendition="#i">&#x03C6;</hi><hi rendition="#sub">111</hi>, <hi rendition="#i">&#x03C6;</hi><hi rendition="#sub">110</hi>, <hi rendition="#i">&#x03C6;</hi><hi rendition="#sub">101</hi>, <hi rendition="#i">&#x03C6;</hi><hi rendition="#sub">100</hi>, <hi rendition="#i">&#x03C6;</hi><hi rendition="#sub">011</hi>, <hi rendition="#i">&#x03C6;</hi><hi rendition="#sub">010</hi>, <hi rendition="#i">&#x03C6;</hi><hi rendition="#sub">001</hi>, <hi rendition="#i">&#x03C6;</hi><hi rendition="#sub">000</hi><lb/><hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, <hi rendition="#i">d</hi>, <hi rendition="#i">e</hi>, <hi rendition="#i">f</hi>, <hi rendition="#i">g</hi>, <hi rendition="#i">h</hi>.</hi> </p><lb/>
          <p>Als Resultante der Elimination von <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> aus den drei Gleichungen:<lb/><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">a &#x03B1; &#x03B2; &#x03B3;</hi> + <hi rendition="#i">b &#x03B1; &#x03B2; &#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c &#x03B1; &#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> + <hi rendition="#i">d &#x03B1; &#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">e &#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B2; &#x03B3;</hi> + <hi rendition="#i">f &#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B2; &#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">g &#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> + <hi rendition="#i">h &#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,<lb/><hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">a &#x03B2; &#x03B3; &#x03B1;</hi> + &#x2026;, <hi rendition="#i">z</hi> = <hi rendition="#i">a &#x03B3; &#x03B1; &#x03B2;</hi> + &#x2026;<lb/>
ist dann gefunden:<lb/><hi rendition="#et">0 = <hi rendition="#i">x y z a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">e</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">g</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> +</hi><lb/>
+ (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y z</hi> + <hi rendition="#i">x y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z</hi> + <hi rendition="#i">x y z</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">e</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">e</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b c e</hi>) (<hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">g</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">g</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">d f g</hi>) +<lb/>
+ (<hi rendition="#i">x y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z</hi>) (<hi rendition="#i">b e</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi> + <hi rendition="#i">c e</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">e</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">d g</hi> + <hi rendition="#i">d f</hi> + <hi rendition="#i">f g</hi> + <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">g</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) +<lb/><hi rendition="#et">+ <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">a</hi> (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">e</hi>) (<hi rendition="#i">d</hi> + <hi rendition="#i">f</hi> + <hi rendition="#i">g</hi>) <hi rendition="#i">h</hi>.</hi></p><lb/>
          <p>Soll sich dies in<lb/><hi rendition="#c">0 = <hi rendition="#i">x y z</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi></hi><lb/>
zusammenziehen &#x2014; wie es doch der Fall sein müsste, wenn diese Gleichung<lb/>
eine symmetrisch-allgemeine Lösung <hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">&#x03C6;</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi>), etc. in drei arbiträren<lb/>
Parametern <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> besässe &#x2014; so müssen der erste und der letzte Koeffi-<lb/>
zient gleich 1 gemacht werden (durch geeignete Bestimmung von <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>,<lb/><hi rendition="#i">d</hi>, <hi rendition="#i">e</hi>, <hi rendition="#i">f</hi>, <hi rendition="#i">g</hi>, <hi rendition="#i">h</hi>) während die beiden mittleren Koeffizienten verschwinden.<lb/>
Jene beiden Gleichungen:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">e</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">g</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 1 = <hi rendition="#i">a</hi> (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">e</hi>) (<hi rendition="#i">d</hi> + <hi rendition="#i">f</hi> + <hi rendition="#i">g</hi>) <hi rendition="#i">h</hi></hi><lb/>
geben aber durch Kontraposition:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">h</hi> + <hi rendition="#i">b c e</hi> + <hi rendition="#i">d f g</hi> = 0 und <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">e</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">g</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0</hi><lb/>
und involviren Widersprüche miteinander, wie diesen: dass gleichzeitig<lb/><hi rendition="#i">a</hi> = 0 und <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0 sein müsste (desgleichen <hi rendition="#i">h</hi> + <hi rendition="#i">h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0, anstatt = 1).<lb/>
Vergl. auch Th. 24<hi rendition="#sub">×</hi>).</p><lb/>
          <p>Es geht hieraus von neuem die Unmöglichkeit hervor, die Gleichung<lb/><hi rendition="#i">R</hi><hi rendition="#sub">2</hi> = 0 (und damit auch die <hi rendition="#i">R</hi><hi rendition="#sub">6</hi> resp. <hi rendition="#i">R</hi><hi rendition="#sub">6</hi>' = 0) in drei Parametern sym-<lb/>
metrisch allgemein zu lösen.</p>
        </div>
      </div><lb/>
      <milestone rendition="#hr" unit="section"/>
    </body>
  </text>
</TEI>
[699/0719] Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls. φ111, φ110, φ101, φ100, φ011, φ010, φ001, φ000 a, b, c, d, e, f, g, h. Als Resultante der Elimination von α, β, γ aus den drei Gleichungen: x = a α β γ + b α β γ1 + c α β1 γ + d α β1 γ1 + e α1 β γ + f α1 β γ1 + g α1 β1 γ + h α1 β1 γ1, y = a β γ α + …, z = a γ α β + … ist dann gefunden: 0 = x y z a1 (b1 + c1 + e1) (d1 + f1 + g1) h1 + + (x1 y z + x y1 z + x y z1) (b1 e1 + b1 c1 + c1 e1 + b c e) (d1 g1 + d1 f1 + f1 g1 + d f g) + + (x y1 z1 + x1 y z1 + x1 y1 z) (b e + b c + c e + b1 c1 e1) (d g + d f + f g + d1 f1 g1) + + x1 y1 z1 a (b + c + e) (d + f + g) h. Soll sich dies in 0 = x y z + x1 y1 z1 zusammenziehen — wie es doch der Fall sein müsste, wenn diese Gleichung eine symmetrisch-allgemeine Lösung x = φ (α, β, γ), etc. in drei arbiträren Parametern α, β, γ besässe — so müssen der erste und der letzte Koeffi- zient gleich 1 gemacht werden (durch geeignete Bestimmung von a, b, c, d, e, f, g, h) während die beiden mittleren Koeffizienten verschwinden. Jene beiden Gleichungen: a1 (b1 + c1 + e1) (d1 + f1 + g1) h1 = 1 = a (b + c + e) (d + f + g) h geben aber durch Kontraposition: a + h + b c e + d f g = 0 und a1 + h1 + b1 c1 e1 + d1 f1 g1 = 0 und involviren Widersprüche miteinander, wie diesen: dass gleichzeitig a = 0 und a1 = 0 sein müsste (desgleichen h + h1 = 0, anstatt = 1). Vergl. auch Th. 24×). Es geht hieraus von neuem die Unmöglichkeit hervor, die Gleichung R2 = 0 (und damit auch die R6 resp. R6' = 0) in drei Parametern sym- metrisch allgemein zu lösen.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/719
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 699. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/719>, abgerufen am 28.03.2024.