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Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896.

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II. Abschnitt. [Gleich. 145]
§ 18. Allgemeinerer Beweis des Entropiesatzes.
Behandlung der Gleichungen, welche dem stationären
Zustande entsprechen
.

Wir wollen nun den speciellen Fall betrachten, dass
ph = l f und Ph = l F ist, wobei l den natürlichen Logarithmus
bedeutet. Dann wird
So, o ph = So, o l f = integral integral f l f d o d o,
[Formel 1] ,

und wir wollen setzen:
144) [Formel 2] .
Man hat nach Gleichung 141:
145) [Formel 3] .

Integrirt man das fünfte Glied des Ausdruckes in der
Klammer bezüglich x, das sechste bezüglich e, das letzte be-
züglich z, so erhält man jedes Mal Null, da X, Y, Z nicht
Functionen von x, e, z sind und f für die Grenzen (-- infinity, + infinity)
verschwindet. Integrirt man das zweite, dritte und vierte Glied
nach x, resp. y und z, so erhält man ein über die gesammte
Oberfläche des Gases erstrecktes Integral J. Ist d S ein Flächen-
element dieser Oberfläche und N die normal zu d S nach
aussen gerichtete Geschwindigkeit eines Moleküls m, so wird
J = integral integral d S d o N f.

Man sieht leicht, dass J d t die Gesammtzahl K der Mole-
küle darstellt, welche durch die ganze Fläche S mehr aus- als
eintreten, während das mit d t multiplicirte erste Glied
[Formel 4] der rechten Seite der Gleichung 145 die gesammte Zunahme L
darstellt, welche die Anzahl der innerhalb jener Fläche S
liegenden Moleküle m während der Zeit d t erfährt.

Dabei ist zu bedenken, dass wir die Volumenelemente d o
nicht als fix betrachteten, sondern mit den Molekülen mit-

II. Abschnitt. [Gleich. 145]
§ 18. Allgemeinerer Beweis des Entropiesatzes.
Behandlung der Gleichungen, welche dem stationären
Zustande entsprechen
.

Wir wollen nun den speciellen Fall betrachten, dass
φ = l f und Φ = l F ist, wobei l den natürlichen Logarithmus
bedeutet. Dann wird
Σω, o φ = Σω, o l f = ∫ ∫ f l f d o d ω,
[Formel 1] ,

und wir wollen setzen:
144) [Formel 2] .
Man hat nach Gleichung 141:
145) [Formel 3] .

Integrirt man das fünfte Glied des Ausdruckes in der
Klammer bezüglich ξ, das sechste bezüglich η, das letzte be-
züglich ζ, so erhält man jedes Mal Null, da X, Y, Z nicht
Functionen von ξ, η, ζ sind und f für die Grenzen (— ∞, + ∞)
verschwindet. Integrirt man das zweite, dritte und vierte Glied
nach x, resp. y und z, so erhält man ein über die gesammte
Oberfläche des Gases erstrecktes Integral J. Ist d S ein Flächen-
element dieser Oberfläche und N die normal zu d S nach
aussen gerichtete Geschwindigkeit eines Moleküls m, so wird
J = ∫ ∫ d S d ω N f.

Man sieht leicht, dass J d t die Gesammtzahl K der Mole-
küle darstellt, welche durch die ganze Fläche S mehr aus- als
eintreten, während das mit d t multiplicirte erste Glied
[Formel 4] der rechten Seite der Gleichung 145 die gesammte Zunahme L
darstellt, welche die Anzahl der innerhalb jener Fläche S
liegenden Moleküle m während der Zeit d t erfährt.

Dabei ist zu bedenken, dass wir die Volumenelemente d o
nicht als fix betrachteten, sondern mit den Molekülen mit-

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[124/0138] II. Abschnitt. [Gleich. 145] § 18. Allgemeinerer Beweis des Entropiesatzes. Behandlung der Gleichungen, welche dem stationären Zustande entsprechen. Wir wollen nun den speciellen Fall betrachten, dass φ = l f und Φ = l F ist, wobei l den natürlichen Logarithmus bedeutet. Dann wird Σω, o φ = Σω, o l f = ∫ ∫ f l f d o d ω, [FORMEL], und wir wollen setzen: 144) [FORMEL]. Man hat nach Gleichung 141: 145) [FORMEL]. Integrirt man das fünfte Glied des Ausdruckes in der Klammer bezüglich ξ, das sechste bezüglich η, das letzte be- züglich ζ, so erhält man jedes Mal Null, da X, Y, Z nicht Functionen von ξ, η, ζ sind und f für die Grenzen (— ∞, + ∞) verschwindet. Integrirt man das zweite, dritte und vierte Glied nach x, resp. y und z, so erhält man ein über die gesammte Oberfläche des Gases erstrecktes Integral J. Ist d S ein Flächen- element dieser Oberfläche und N die normal zu d S nach aussen gerichtete Geschwindigkeit eines Moleküls m, so wird J = ∫ ∫ d S d ω N f. Man sieht leicht, dass J d t die Gesammtzahl K der Mole- küle darstellt, welche durch die ganze Fläche S mehr aus- als eintreten, während das mit d t multiplicirte erste Glied [FORMEL] der rechten Seite der Gleichung 145 die gesammte Zunahme L darstellt, welche die Anzahl der innerhalb jener Fläche S liegenden Moleküle m während der Zeit d t erfährt. Dabei ist zu bedenken, dass wir die Volumenelemente d o nicht als fix betrachteten, sondern mit den Molekülen mit-

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Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896, S. 124. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie01_1896/138>, abgerufen am 12.08.2022.