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Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896.

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I. Abschnitt. [Gleich. 37]

Hier sind offenbar die beiden Grössen m c2, m1 [Formel 1] voll-
kommen von einander unabhängig, und auch die dritte Grösse
m c'2 kann noch, unabhängig von den beiden ersten, alle Werthe
von Null bis [Formel 2] annehmen. Bezeichnen wir daher
diese drei Grössen mit x, y, z, so erhalten wir, indem wir die
letzte Gleichung einmal partiell nach x, dann partiell nach y,
dann partiell nach z differentiiren, zunächst:
[Formel 3] ,
woraus folgt:
ph' (x) = Ph' (y) = ph' (z).

Da der erste dieser Ausdrücke kein y und z enthält, und
der zweite und dritte ihm gleich sind, so darf auch der zweite
kein y, der dritte kein z enthalten. Andere Variable enthalten
sie aber auch nicht; daher müssen sie Constante sein; da sie
zudem einander gleich sind, so sind also die Ableitungen der
beiden Functionen ph und Ph gleich derselben Constanten -- h,
woraus sofort folgt:
36) [Formel 4] .

Die Anzahl d nc der Moleküle m in der Volumeneinheit,
für welche bei beliebiger Richtung ihrer Geschwindigkeit, deren
Grösse zwischen c und c + d c liegt, ist offenbar gleich der
Anzahl derjenigen, für welche der Geschwindigkeitspunkt
zwischen den beiden vom Coordinatenursprunge aus mit den
Radien c und c + d c gezogenen Kugelflächen, also in einem
Raume vom Volumen d o = 4 p c2 d c, liegt. Man hat daher
nach Formel 11:
37) [Formel 5] .

Die Moleküle, für welche die Grösse der Geschwindigkeit
zwischen c und c + d c liegt und ausserdem noch deren Rich-
tung mit einer fixen Geraden (z. B. der Abscissenaxe) einen
Winkel bildet, der zwischen th und th + d th liegt, sind iden-
tisch mit denjenigen, deren Geschwindigkeitspunkt in einem
Ringe liegt, der von den obigen beiden Kugelflächen von den
Radien c und c + d c und von den beiden Kegelflächen, deren
Spitze im Coordinationsursprunge liegt, deren Axe die Abscissen-

I. Abschnitt. [Gleich. 37]

Hier sind offenbar die beiden Grössen m c2, m1 [Formel 1] voll-
kommen von einander unabhängig, und auch die dritte Grösse
m c'2 kann noch, unabhängig von den beiden ersten, alle Werthe
von Null bis [Formel 2] annehmen. Bezeichnen wir daher
diese drei Grössen mit x, y, z, so erhalten wir, indem wir die
letzte Gleichung einmal partiell nach x, dann partiell nach y,
dann partiell nach z differentiiren, zunächst:
[Formel 3] ,
woraus folgt:
φ' (x) = Φ' (y) = φ' (z).

Da der erste dieser Ausdrücke kein y und z enthält, und
der zweite und dritte ihm gleich sind, so darf auch der zweite
kein y, der dritte kein z enthalten. Andere Variable enthalten
sie aber auch nicht; daher müssen sie Constante sein; da sie
zudem einander gleich sind, so sind also die Ableitungen der
beiden Functionen φ und Φ gleich derselben Constanten — h,
woraus sofort folgt:
36) [Formel 4] .

Die Anzahl d nc der Moleküle m in der Volumeneinheit,
für welche bei beliebiger Richtung ihrer Geschwindigkeit, deren
Grösse zwischen c und c + d c liegt, ist offenbar gleich der
Anzahl derjenigen, für welche der Geschwindigkeitspunkt
zwischen den beiden vom Coordinatenursprunge aus mit den
Radien c und c + d c gezogenen Kugelflächen, also in einem
Raume vom Volumen d ω = 4 π c2 d c, liegt. Man hat daher
nach Formel 11:
37) [Formel 5] .

Die Moleküle, für welche die Grösse der Geschwindigkeit
zwischen c und c + d c liegt und ausserdem noch deren Rich-
tung mit einer fixen Geraden (z. B. der Abscissenaxe) einen
Winkel bildet, der zwischen ϑ und ϑ + d ϑ liegt, sind iden-
tisch mit denjenigen, deren Geschwindigkeitspunkt in einem
Ringe liegt, der von den obigen beiden Kugelflächen von den
Radien c und c + d c und von den beiden Kegelflächen, deren
Spitze im Coordinationsursprunge liegt, deren Axe die Abscissen-

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[48/0062] I. Abschnitt. [Gleich. 37] Hier sind offenbar die beiden Grössen m c2, m1 [FORMEL] voll- kommen von einander unabhängig, und auch die dritte Grösse m c'2 kann noch, unabhängig von den beiden ersten, alle Werthe von Null bis [FORMEL] annehmen. Bezeichnen wir daher diese drei Grössen mit x, y, z, so erhalten wir, indem wir die letzte Gleichung einmal partiell nach x, dann partiell nach y, dann partiell nach z differentiiren, zunächst: [FORMEL], woraus folgt: φ' (x) = Φ' (y) = φ' (z). Da der erste dieser Ausdrücke kein y und z enthält, und der zweite und dritte ihm gleich sind, so darf auch der zweite kein y, der dritte kein z enthalten. Andere Variable enthalten sie aber auch nicht; daher müssen sie Constante sein; da sie zudem einander gleich sind, so sind also die Ableitungen der beiden Functionen φ und Φ gleich derselben Constanten — h, woraus sofort folgt: 36) [FORMEL]. Die Anzahl d nc der Moleküle m in der Volumeneinheit, für welche bei beliebiger Richtung ihrer Geschwindigkeit, deren Grösse zwischen c und c + d c liegt, ist offenbar gleich der Anzahl derjenigen, für welche der Geschwindigkeitspunkt zwischen den beiden vom Coordinatenursprunge aus mit den Radien c und c + d c gezogenen Kugelflächen, also in einem Raume vom Volumen d ω = 4 π c2 d c, liegt. Man hat daher nach Formel 11: 37) [FORMEL]. Die Moleküle, für welche die Grösse der Geschwindigkeit zwischen c und c + d c liegt und ausserdem noch deren Rich- tung mit einer fixen Geraden (z. B. der Abscissenaxe) einen Winkel bildet, der zwischen ϑ und ϑ + d ϑ liegt, sind iden- tisch mit denjenigen, deren Geschwindigkeitspunkt in einem Ringe liegt, der von den obigen beiden Kugelflächen von den Radien c und c + d c und von den beiden Kegelflächen, deren Spitze im Coordinationsursprunge liegt, deren Axe die Abscissen-

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Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896, S. 48. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie01_1896/62>, abgerufen am 19.04.2024.