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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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Setzen wir f (a + e, b, c) -- f (a, b, c) = Dk, so ist das In-
tegral
[Formel 1] (4)
über t0 ausgedehnt, [Formel 2] .

Die bisherigen Resultate gelten allgemein für jede Lage
von O: bei der weitern Entwicklung soll der Fall, wo O in
der Oberfläche selbst liegt, ausgeschlossen sein, oder angenom-
men werden, dass O in messbarer Entfernung von der Ober-
fläche, innerhalb oder ausserhalb t liege.

Lassen wir nun e unendlich klein werden, so sind die
Räume th, th' zwei unendlich schmale an der Oberfläche von t
anliegende Raumschichten; zerlegen wir diese Oberfläche in
Elemente ds, und bezeichnen mit a den Winkel, welchen eine
in ds nach aussen errichtete Normale mit der ersten Coordina-
tenaxe macht, so wird a offenbar spitz sein überall, wo die
Oberfläche von t an th grenzt, stumpf hingegen da, wo sie an
th' grenzt. Die Elemente von th werden also ausgedrückt wer-
den durch e cos a ds, die Elemente von th' hingegen durch
-- e cos a ds, woraus man leicht schliesst, dass [Formel 3] übergeht
in das Integral
[Formel 4] oder was dasselbe ist, in dieses
[Formel 5] durch die ganze Oberfläche ausgedehnt, wo unter k die an dem
Elemente ds Statt findende Dichtigkeit zu verstehen ist.

Unter Voraussetzung eines unendlich kleinen Werthes von
e wird ferner [Formel 6] übergehen in den Werth des partiellen Dif-
ferentialquotienten [Formel 7] oder [Formel 8] , und der Werth des In-
tegrals (4) oder [Formel 9] in das Integral

Setzen wir f (a + e, b, c) — f (a, b, c) = Δk, so ist das In-
tegral
[Formel 1] (4)
über t0 ausgedehnt, [Formel 2] .

Die bisherigen Resultate gelten allgemein für jede Lage
von O: bei der weitern Entwicklung soll der Fall, wo O in
der Oberfläche selbst liegt, ausgeschlossen sein, oder angenom-
men werden, daſs O in meſsbarer Entfernung von der Ober-
fläche, innerhalb oder auſserhalb t liege.

Lassen wir nun e unendlich klein werden, so sind die
Räume θ, θ' zwei unendlich schmale an der Oberfläche von t
anliegende Raumschichten; zerlegen wir diese Oberfläche in
Elemente ds, und bezeichnen mit α den Winkel, welchen eine
in ds nach auſsen errichtete Normale mit der ersten Coordina-
tenaxe macht, so wird α offenbar spitz sein überall, wo die
Oberfläche von t an θ grenzt, stumpf hingegen da, wo sie an
θ' grenzt. Die Elemente von θ werden also ausgedrückt wer-
den durch e cos α ds, die Elemente von θ' hingegen durch
e cos α ds, woraus man leicht schlieſst, daſs [Formel 3] übergeht
in das Integral
[Formel 4] oder was dasselbe ist, in dieses
[Formel 5] durch die ganze Oberfläche ausgedehnt, wo unter k die an dem
Elemente ds Statt findende Dichtigkeit zu verstehen ist.

Unter Voraussetzung eines unendlich kleinen Werthes von
e wird ferner [Formel 6] übergehen in den Werth des partiellen Dif-
ferentialquotienten [Formel 7] oder [Formel 8] , und der Werth des In-
tegrals (4) oder [Formel 9] in das Integral

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[12/0017] Setzen wir f (a + e, b, c) — f (a, b, c) = Δk, so ist das In- tegral [FORMEL] (4) über t0 ausgedehnt, [FORMEL]. Die bisherigen Resultate gelten allgemein für jede Lage von O: bei der weitern Entwicklung soll der Fall, wo O in der Oberfläche selbst liegt, ausgeschlossen sein, oder angenom- men werden, daſs O in meſsbarer Entfernung von der Ober- fläche, innerhalb oder auſserhalb t liege. Lassen wir nun e unendlich klein werden, so sind die Räume θ, θ' zwei unendlich schmale an der Oberfläche von t anliegende Raumschichten; zerlegen wir diese Oberfläche in Elemente ds, und bezeichnen mit α den Winkel, welchen eine in ds nach auſsen errichtete Normale mit der ersten Coordina- tenaxe macht, so wird α offenbar spitz sein überall, wo die Oberfläche von t an θ grenzt, stumpf hingegen da, wo sie an θ' grenzt. Die Elemente von θ werden also ausgedrückt wer- den durch e cos α ds, die Elemente von θ' hingegen durch — e cos α ds, woraus man leicht schlieſst, daſs [FORMEL] übergeht in das Integral [FORMEL] oder was dasselbe ist, in dieses [FORMEL] durch die ganze Oberfläche ausgedehnt, wo unter k die an dem Elemente ds Statt findende Dichtigkeit zu verstehen ist. Unter Voraussetzung eines unendlich kleinen Werthes von e wird ferner [FORMEL] übergehen in den Werth des partiellen Dif- ferentialquotienten [FORMEL] oder [FORMEL], und der Werth des In- tegrals (4) oder [FORMEL] in das Integral

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 12. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/17>, abgerufen am 17.08.2022.