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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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fläche, und die Dichtigkeit darin gleichförmig oder k constant.
Es sind also V, X die Werthe der Integrale
[Formel 1] durch A ausgedehnt; bezeichnen wir mit V', X' dieselben In-
tegrale, wenn sie durch den übrigen Theil der Kugelfläche B,
und mit V0, X0, wenn sie durch die ganze Kugelfläche er-
streckt werden, so wird V = V0 -- V', X = X0 -- X'.
Wir wollen noch den Halbmesser der Kugel mit R bezeichnen,
den Anfangspunkt der Coordinaten in den Mittelpunkt der
Kugel legen, und sqrt (xx + yy + zz) oder den Abstand des
Punktes O vom Mittelpunkte der Kugel = r setzen.

Es ist nun bekannt, dass V0 = 4pkR wird, wenn O in-
nerhalb der Kugel, hingegen [Formel 2] , wenn O ausser-
halb liegt; in der Kugelfläche selbst fallen beide Werthe zu-
sammen. Der Differentialquotient [Formel 3] wird daher innerhalb
der Kugel = 0, ausserhalb [Formel 4] ; auf der Ku-
gelfläche selbst aber werden beide Werthe zugleich gelten, je
nach dem Zeichen von dx: gleich sind diese beiden Werthe
nur dann, wenn x = 0 ist, was dem Falle II des vorherge-
henden Artikels entspricht.

Der Ausdruck für X0, innerhalb und ausserhalb der Ku-
gel mit [Formel 5] gleichbedeutend, wird auf der Oberfläche ein lee-
res Zeichen, insofern eine wahre Integration unstatthaft ist,
den einzigen Fall ausgenommen, wenn für die unendlich nahe
liegenden Elemente der Fläche a -- x ein unendlich kleines
von einer höhern Ordnung wird als r, nemlich wenn y = 0,
z = 0, x = +/- R, für welchen Fall die Integration X0 =
= 2pk gibt, also mit keinem der Werthe von [Formel 6] überein-
stimmend, sondern vielmehr mit dem Mittel von beiden: offen-
bar gehört übrigens dieser Fall zu I im vorhergehenden Artikel.

Erwägt man nun, dass wenn O ein auf der Oberfläche

fläche, und die Dichtigkeit darin gleichförmig oder k constant.
Es sind also V, X die Werthe der Integrale
[Formel 1] durch A ausgedehnt; bezeichnen wir mit V', X' dieselben In-
tegrale, wenn sie durch den übrigen Theil der Kugelfläche B,
und mit V0, X0, wenn sie durch die ganze Kugelfläche er-
streckt werden, so wird V = V0V', X = X0X'.
Wir wollen noch den Halbmesser der Kugel mit R bezeichnen,
den Anfangspunkt der Coordinaten in den Mittelpunkt der
Kugel legen, und √ (xx + yy + zz) oder den Abstand des
Punktes O vom Mittelpunkte der Kugel = ρ setzen.

Es ist nun bekannt, daſs V0 = 4πkR wird, wenn O in-
nerhalb der Kugel, hingegen [Formel 2] , wenn O auſser-
halb liegt; in der Kugelfläche selbst fallen beide Werthe zu-
sammen. Der Differentialquotient [Formel 3] wird daher innerhalb
der Kugel = 0, auſserhalb [Formel 4] ; auf der Ku-
gelfläche selbst aber werden beide Werthe zugleich gelten, je
nach dem Zeichen von dx: gleich sind diese beiden Werthe
nur dann, wenn x = 0 ist, was dem Falle II des vorherge-
henden Artikels entspricht.

Der Ausdruck für X0, innerhalb und auſserhalb der Ku-
gel mit [Formel 5] gleichbedeutend, wird auf der Oberfläche ein lee-
res Zeichen, insofern eine wahre Integration unstatthaft ist,
den einzigen Fall ausgenommen, wenn für die unendlich nahe
liegenden Elemente der Fläche ax ein unendlich kleines
von einer höhern Ordnung wird als r, nemlich wenn y = 0,
z = 0, x = ± R, für welchen Fall die Integration X0 =
= 2πk gibt, also mit keinem der Werthe von [Formel 6] überein-
stimmend, sondern vielmehr mit dem Mittel von beiden: offen-
bar gehört übrigens dieser Fall zu I im vorhergehenden Artikel.

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[20/0025] fläche, und die Dichtigkeit darin gleichförmig oder k constant. Es sind also V, X die Werthe der Integrale [FORMEL] durch A ausgedehnt; bezeichnen wir mit V', X' dieselben In- tegrale, wenn sie durch den übrigen Theil der Kugelfläche B, und mit V0, X0, wenn sie durch die ganze Kugelfläche er- streckt werden, so wird V = V0 — V', X = X0 — X'. Wir wollen noch den Halbmesser der Kugel mit R bezeichnen, den Anfangspunkt der Coordinaten in den Mittelpunkt der Kugel legen, und √ (xx + yy + zz) oder den Abstand des Punktes O vom Mittelpunkte der Kugel = ρ setzen. Es ist nun bekannt, daſs V0 = 4πkR wird, wenn O in- nerhalb der Kugel, hingegen [FORMEL], wenn O auſser- halb liegt; in der Kugelfläche selbst fallen beide Werthe zu- sammen. Der Differentialquotient [FORMEL] wird daher innerhalb der Kugel = 0, auſserhalb [FORMEL]; auf der Ku- gelfläche selbst aber werden beide Werthe zugleich gelten, je nach dem Zeichen von dx: gleich sind diese beiden Werthe nur dann, wenn x = 0 ist, was dem Falle II des vorherge- henden Artikels entspricht. Der Ausdruck für X0, innerhalb und auſserhalb der Ku- gel mit [FORMEL] gleichbedeutend, wird auf der Oberfläche ein lee- res Zeichen, insofern eine wahre Integration unstatthaft ist, den einzigen Fall ausgenommen, wenn für die unendlich nahe liegenden Elemente der Fläche a — x ein unendlich kleines von einer höhern Ordnung wird als r, nemlich wenn y = 0, z = 0, x = ± R, für welchen Fall die Integration X0 = = 2πk gibt, also mit keinem der Werthe von [FORMEL] überein- stimmend, sondern vielmehr mit dem Mittel von beiden: offen- bar gehört übrigens dieser Fall zu I im vorhergehenden Artikel. Erwägt man nun, daſs wenn O ein auf der Oberfläche

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 20. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/25>, abgerufen am 29.03.2024.