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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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wo die Integrationen sich vom kleinsten zum grössten Werthe
von b, für jeden bestimmten Werth von c erstrecken, und mit
h*, r*, h**, r** die jenen Grenzwerthen entsprechenden Werthe
von h und r bezeichnet sind. Schreiben wir zur Abkürzung
[Formel 1] so wird
[Formel 2] wo die Integration in Beziehung auf c vom kleinsten Werthe,
welchen diese Coordinate in der Fläche hat, bis zum grössten
ausgedehnt werden muss. In dem doppelten Integrale stellt
d b . d c die Projection eines unbestimmten Elements der Fläche
auf die Ebene der b, c vor, und es kann mithin auch r d r . d th
dafür geschrieben werden: sonach wird
[Formel 3] wo in dem Doppelintegral von r = o bis r = r' und von
th = o bis th = 2 p integrirt werden muss. Durch ähnliche
Schlüsse, wie im 15. Artikel, erkennt man nun leicht, dass
dieser Ausdruck bis auf unendlich kleine Unterschiede gleiche
Werthe erhält, man möge x = o oder unendlich klein anneh-
men, oder mit andern Worten, der Werth von Y hat bei po-
sitiven und bei negativen unendlich abnehmenden Werthen
von x eine und dieselbe Grenze, und diese Grenze ist nichts
anderes, als der Werth obiger Formel, wenn man darin x = o
setzt. Wir wollen nach der Analogie diesen Werth mit Y0
bezeichnen, wobei jedoch bemerkt werden muss, dass man
nicht sagen darf, es sei diess der Werth von [Formel 4] für
x = o (insofern dieser Ausdruck für x = o eine wahre Inte-
gration nicht zulässt), sondern nur, es sei ein Werth jenes In-
tegrals, nemlich derjenige, welcher hervorgeht, wenn man in
der oben befolgten Ordnung integrirt.

Übrigens bedarf dieses Resultat (auf ähnliche Weise wie
oben Art. 16) einer Einschränkung in dem singulären Falle,
wo in dem Punkte P unendlich kleine Krümmungshalbmesser
Statt finden, imgleichen, wenn in diesem Punkte [Formel 5] unendlich

wo die Integrationen sich vom kleinsten zum gröſsten Werthe
von b, für jeden bestimmten Werth von c erstrecken, und mit
h*, r*, h**, r** die jenen Grenzwerthen entsprechenden Werthe
von h und r bezeichnet sind. Schreiben wir zur Abkürzung
[Formel 1] so wird
[Formel 2] wo die Integration in Beziehung auf c vom kleinsten Werthe,
welchen diese Coordinate in der Fläche hat, bis zum gröſsten
ausgedehnt werden muſs. In dem doppelten Integrale stellt
d b . d c die Projection eines unbestimmten Elements der Fläche
auf die Ebene der b, c vor, und es kann mithin auch ρ d ρ . d θ
dafür geschrieben werden: sonach wird
[Formel 3] wo in dem Doppelintegral von ρ = o bis ρ = ρ' und von
θ = o bis θ = 2 π integrirt werden muſs. Durch ähnliche
Schlüsse, wie im 15. Artikel, erkennt man nun leicht, daſs
dieser Ausdruck bis auf unendlich kleine Unterschiede gleiche
Werthe erhält, man möge x = o oder unendlich klein anneh-
men, oder mit andern Worten, der Werth von Y hat bei po-
sitiven und bei negativen unendlich abnehmenden Werthen
von x eine und dieselbe Grenze, und diese Grenze ist nichts
anderes, als der Werth obiger Formel, wenn man darin x = o
setzt. Wir wollen nach der Analogie diesen Werth mit Y0
bezeichnen, wobei jedoch bemerkt werden muſs, daſs man
nicht sagen darf, es sei dieſs der Werth von [Formel 4] für
x = o (insofern dieser Ausdruck für x = o eine wahre Inte-
gration nicht zuläſst), sondern nur, es sei ein Werth jenes In-
tegrals, nemlich derjenige, welcher hervorgeht, wenn man in
der oben befolgten Ordnung integrirt.

Übrigens bedarf dieses Resultat (auf ähnliche Weise wie
oben Art. 16) einer Einschränkung in dem singulären Falle,
wo in dem Punkte P unendlich kleine Krümmungshalbmesser
Statt finden, imgleichen, wenn in diesem Punkte [Formel 5] unendlich

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[26/0031] wo die Integrationen sich vom kleinsten zum gröſsten Werthe von b, für jeden bestimmten Werth von c erstrecken, und mit h*, r*, h**, r** die jenen Grenzwerthen entsprechenden Werthe von h und r bezeichnet sind. Schreiben wir zur Abkürzung [FORMEL] so wird [FORMEL] wo die Integration in Beziehung auf c vom kleinsten Werthe, welchen diese Coordinate in der Fläche hat, bis zum gröſsten ausgedehnt werden muſs. In dem doppelten Integrale stellt d b . d c die Projection eines unbestimmten Elements der Fläche auf die Ebene der b, c vor, und es kann mithin auch ρ d ρ . d θ dafür geschrieben werden: sonach wird [FORMEL] wo in dem Doppelintegral von ρ = o bis ρ = ρ' und von θ = o bis θ = 2 π integrirt werden muſs. Durch ähnliche Schlüsse, wie im 15. Artikel, erkennt man nun leicht, daſs dieser Ausdruck bis auf unendlich kleine Unterschiede gleiche Werthe erhält, man möge x = o oder unendlich klein anneh- men, oder mit andern Worten, der Werth von Y hat bei po- sitiven und bei negativen unendlich abnehmenden Werthen von x eine und dieselbe Grenze, und diese Grenze ist nichts anderes, als der Werth obiger Formel, wenn man darin x = o setzt. Wir wollen nach der Analogie diesen Werth mit Y0 bezeichnen, wobei jedoch bemerkt werden muſs, daſs man nicht sagen darf, es sei dieſs der Werth von [FORMEL] für x = o (insofern dieser Ausdruck für x = o eine wahre Inte- gration nicht zuläſst), sondern nur, es sei ein Werth jenes In- tegrals, nemlich derjenige, welcher hervorgeht, wenn man in der oben befolgten Ordnung integrirt. Übrigens bedarf dieses Resultat (auf ähnliche Weise wie oben Art. 16) einer Einschränkung in dem singulären Falle, wo in dem Punkte P unendlich kleine Krümmungshalbmesser Statt finden, imgleichen, wenn in diesem Punkte [FORMEL] unendlich

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 26. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/31>, abgerufen am 19.04.2024.