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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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der Ordnung g vernachlässigt, P0 + P' + P'' + u. s. f.
= A0 + A' + A'' + u. s. f. und also (da eine Function von
u, l nur auf Eine Art in eine Reihe entwickelt werden kann,
deren Glieder den erwähnten Differentialgleichungen Genüge
leisten) P0 = A0, P' = A', P'' = A'' u. s. f. Eben so wird,
Grössen der Ordnung g vernachlässigt, P0 = B0, P' = B',
P'' = B'' u. s. f.

Setzt man also (I)
[Formel 1] u. s. f.
wo offenbar auch a0, a', a'', a''' u. s. f., imgleichen b0, b', b'',
b''' u. s. f. den erwähnten Differentialgleichungen Genüge lei-
sten werden, und substituirt diese Werthe in den obigen Glei-
chungen, indem man dabei Grössen von der Ordnung gg vernach-
lässigt, so wird, nachdem mit g dividirt ist, bis auf Fehler von
der Ordnung g genau
[Formel 2] Es ist also bis auf Fehler der Ordnung g genau,
[Formel 3] und folglich, bis auf Fehler der Ordnung g g genau, (II)
[Formel 4]

Der Differentialquotient [Formel 5] hat in der Fläche selbst zwei
verschiedene Werthe, und der auf ein negatives d r oder auf
die innere Seite sich beziehende übertrifft den auf der äussern
Seite geltenden um 4 p m cos th, wenn m die Dichtigkeit an der
Durchschnittsstelle und th den Winkel zwischen r und der
Normale bezeichnet (Art. 13, wo t, A, k0 dasselbe bedeuten
was hier r, th, m sind). Man findet diese beiden Werthe,
wenn man die beiden im innern und äussern Raume geltenden
Ausdrücke für V nach r differentiirt, und dann r = R (1 + g z)
setzt. Es ist also der erste =

der Ordnung γ vernachlässigt, P0 + P' + P'' + u. s. f.
= A0 + A' + A'' + u. s. f. und also (da eine Function von
u, λ nur auf Eine Art in eine Reihe entwickelt werden kann,
deren Glieder den erwähnten Differentialgleichungen Genüge
leisten) P0 = A0, P' = A', P'' = A'' u. s. f. Eben so wird,
Gröſsen der Ordnung γ vernachlässigt, P0 = B0, P' = B',
P'' = B'' u. s. f.

Setzt man also (I)
[Formel 1] u. s. f.
wo offenbar auch a0, a', a'', a''' u. s. f., imgleichen b0, b', b'',
b''' u. s. f. den erwähnten Differentialgleichungen Genüge lei-
sten werden, und substituirt diese Werthe in den obigen Glei-
chungen, indem man dabei Gröſsen von der Ordnung γγ vernach-
lässigt, so wird, nachdem mit γ dividirt ist, bis auf Fehler von
der Ordnung γ genau
[Formel 2] Es ist also bis auf Fehler der Ordnung γ genau,
[Formel 3] und folglich, bis auf Fehler der Ordnung γ γ genau, (II)
[Formel 4]

Der Differentialquotient [Formel 5] hat in der Fläche selbst zwei
verschiedene Werthe, und der auf ein negatives d r oder auf
die innere Seite sich beziehende übertrifft den auf der äuſsern
Seite geltenden um 4 π m cos θ, wenn m die Dichtigkeit an der
Durchschnittsstelle und θ den Winkel zwischen r und der
Normale bezeichnet (Art. 13, wo t, A, k0 dasselbe bedeuten
was hier r, θ, m sind). Man findet diese beiden Werthe,
wenn man die beiden im innern und äuſsern Raume geltenden
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[48/0053] der Ordnung γ vernachlässigt, P0 + P' + P'' + u. s. f. = A0 + A' + A'' + u. s. f. und also (da eine Function von u, λ nur auf Eine Art in eine Reihe entwickelt werden kann, deren Glieder den erwähnten Differentialgleichungen Genüge leisten) P0 = A0, P' = A', P'' = A'' u. s. f. Eben so wird, Gröſsen der Ordnung γ vernachlässigt, P0 = B0, P' = B', P'' = B'' u. s. f. Setzt man also (I) [FORMEL] u. s. f. wo offenbar auch a0, a', a'', a''' u. s. f., imgleichen b0, b', b'', b''' u. s. f. den erwähnten Differentialgleichungen Genüge lei- sten werden, und substituirt diese Werthe in den obigen Glei- chungen, indem man dabei Gröſsen von der Ordnung γγ vernach- lässigt, so wird, nachdem mit γ dividirt ist, bis auf Fehler von der Ordnung γ genau [FORMEL] Es ist also bis auf Fehler der Ordnung γ genau, [FORMEL] und folglich, bis auf Fehler der Ordnung γ γ genau, (II) [FORMEL] Der Differentialquotient [FORMEL] hat in der Fläche selbst zwei verschiedene Werthe, und der auf ein negatives d r oder auf die innere Seite sich beziehende übertrifft den auf der äuſsern Seite geltenden um 4 π m cos θ, wenn m die Dichtigkeit an der Durchschnittsstelle und θ den Winkel zwischen r und der Normale bezeichnet (Art. 13, wo t, A, k0 dasselbe bedeuten was hier r, θ, m sind). Man findet diese beiden Werthe, wenn man die beiden im innern und äuſsern Raume geltenden Ausdrücke für V nach r differentiirt, und dann r = R (1 + γ z) setzt. Es ist also der erste =

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 48. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/53>, abgerufen am 19.04.2024.