Gauß, Carl Friedrich: Anzeige von 'Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda'. In: Göttingische gelehrte Anzeigen, 23. April 1831, S. 169–178.

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64. St., den 23. April 1831.

negativ nimmt, je nachdem sie, absolut betrach-
tet, von der Form 4 m + 1 oder 4 m + 3 sind.
Die Induction gibt hier sofort mit großer Leich-
tigkeit eine reiche Ernte von neuen Lehrsätzen,
wovon wir hier nur ein Paar anführen. Die
Numerierung der Classen mit 1, 2, 3, 4 wird
auf die Fälle bezogen, wo kn den Zahlen 1, f,
-- 1, -- f congruent wird; zugleich ist für die
Zahl f immer derjenige Werth angenommen, wel-
cher a + bf durch p theilbar macht, wenn aa + bb
die Zerlegung von p in ein ungerades und ein
gerades Quadrat vorstellt. So findet sich durch
die Induction, daß die Zahl -- 3 allemal zu der
Classe 1, 2, 3, 4 gehört, je nachdem b, a + b,
a, a -- b durch 3 theilbar ist; daß die Zahl + 5
der Reihe nach zu jenen Classen gehört, je nach-
dem b, a -- b, a, a + b durch 5 theilbar ist;
daß die Zahl -- 7 in die Classe 1 fällt, wenn
a oder b; in die Classe 1, wenn a -- 2 b oder
a -- 3 b; in die Classe 2, wenn a -- b oder
a + b; in die Classe 3, wenn a + 2 b oder
a + 3 b durch 7 theilbar ist. Aehnliche Theore-
me ergeben sich in Beziehung auf die Zahlen
-- 11, + 13, + 17, -- 19, -- 23 u. s. f.
So leicht sich aber alle dergleichen specielle Theo-
reme durch die Induction entdecken lassen, so
schwer scheint es, auf diesem Wege ein allgemei-
nes Gesetz für diese Formen aufzufinden, wenn
auch manches Gemeinschaftliche bald in die Au-
gen fällt, und noch viel schwerer ist es, für diese
Lehrsätze die Beweise zu finden. Die für die
Zahlen + 2 und -- 2 in der ersten Abhandlung
gebrauchten Methoden vertragen hier keine An-
wendung mehr, und wenn gleich andere Metho-
den ebenfalls das, was sich auf die erste und
dritte Classe bezieht, zu erledigen dienen könn-

[56] *

64. St., den 23. April 1831.

negativ nimmt, je nachdem ſie, abſolut betrach-
tet, von der Form 4 m + 1 oder 4 m + 3 ſind.
Die Induction gibt hier ſofort mit großer Leich-
tigkeit eine reiche Ernte von neuen Lehrſaͤtzen,
wovon wir hier nur ein Paar anfuͤhren. Die
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— 1, — f congruent wird; zugleich iſt fuͤr die
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gerades Quadrat vorſtellt. So findet ſich durch
die Induction, daß die Zahl — 3 allemal zu der
Claſſe 1, 2, 3, 4 gehoͤrt, je nachdem b, a + b,
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der Reihe nach zu jenen Claſſen gehoͤrt, je nach-
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a + b; in die Claſſe 3, wenn a + 2 b oder
a + 3 b durch 7 theilbar iſt. Aehnliche Theore-
me ergeben ſich in Beziehung auf die Zahlen
— 11, + 13, + 17, — 19, — 23 u. ſ. f.
So leicht ſich aber alle dergleichen ſpecielle Theo-
reme durch die Induction entdecken laſſen, ſo
ſchwer ſcheint es, auf dieſem Wege ein allgemei-
nes Geſetz fuͤr dieſe Formen aufzufinden, wenn
auch manches Gemeinſchaftliche bald in die Au-
gen faͤllt, und noch viel ſchwerer iſt es, fuͤr dieſe
Lehrſaͤtze die Beweiſe zu finden. Die fuͤr die
Zahlen + 2 und — 2 in der erſten Abhandlung
gebrauchten Methoden vertragen hier keine An-
wendung mehr, und wenn gleich andere Metho-
den ebenfalls das, was ſich auf die erſte und
dritte Claſſe bezieht, zu erledigen dienen koͤnn-

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[627/0010] 64. St., den 23. April 1831. negativ nimmt, je nachdem ſie, abſolut betrach- tet, von der Form 4 m + 1 oder 4 m + 3 ſind. Die Induction gibt hier ſofort mit großer Leich- tigkeit eine reiche Ernte von neuen Lehrſaͤtzen, wovon wir hier nur ein Paar anfuͤhren. Die Numerierung der Claſſen mit 1, 2, 3, 4 wird auf die Faͤlle bezogen, wo kn den Zahlen 1, f, — 1, — f congruent wird; zugleich iſt fuͤr die Zahl f immer derjenige Werth angenommen, wel- cher a + bf durch p theilbar macht, wenn aa + bb die Zerlegung von p in ein ungerades und ein gerades Quadrat vorſtellt. So findet ſich durch die Induction, daß die Zahl — 3 allemal zu der Claſſe 1, 2, 3, 4 gehoͤrt, je nachdem b, a + b, a, a — b durch 3 theilbar iſt; daß die Zahl + 5 der Reihe nach zu jenen Claſſen gehoͤrt, je nach- dem b, a — b, a, a + b durch 5 theilbar iſt; daß die Zahl — 7 in die Claſſe 1 faͤllt, wenn a oder b; in die Claſſe 1, wenn a — 2 b oder a — 3 b; in die Claſſe 2, wenn a — b oder a + b; in die Claſſe 3, wenn a + 2 b oder a + 3 b durch 7 theilbar iſt. Aehnliche Theore- me ergeben ſich in Beziehung auf die Zahlen — 11, + 13, + 17, — 19, — 23 u. ſ. f. So leicht ſich aber alle dergleichen ſpecielle Theo- reme durch die Induction entdecken laſſen, ſo ſchwer ſcheint es, auf dieſem Wege ein allgemei- nes Geſetz fuͤr dieſe Formen aufzufinden, wenn auch manches Gemeinſchaftliche bald in die Au- gen faͤllt, und noch viel ſchwerer iſt es, fuͤr dieſe Lehrſaͤtze die Beweiſe zu finden. Die fuͤr die Zahlen + 2 und — 2 in der erſten Abhandlung gebrauchten Methoden vertragen hier keine An- wendung mehr, und wenn gleich andere Metho- den ebenfalls das, was ſich auf die erſte und dritte Claſſe bezieht, zu erledigen dienen koͤnn- [56] *

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Zitationshilfe:	Gauß, Carl Friedrich: Anzeige von 'Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda'. In: Göttingische gelehrte Anzeigen, 23. April 1831, S. 169–178, hier S. 627. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_theoria_1831/10>, abgerufen am 23.04.2024.

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