Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

der Fläche Ω einen Sprung von derselben Gröſse wie die von Ψ″ machen.
Bezeichnen wir die von der Fläche ab nach beiden Seiten hingehenden Nor-
malen mit n͵ und n͵͵, so ist bekanntlich
$\frac{d\Psi''}{dn_\prime} + \frac{d\Psi''}{dn_{\prime\prime}} = -4\pi p$,
und daraus folgt, daſs auch
(6^a.) $\frac{d\Psi}{dn_\prime} + \frac{d\Psi}{dn_{\prime\prime}} = -4\pi p$
sei, was zu beweisen war.

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Man kann ferner den für die Lehre von den electrischen und magne-
tischen Potentialfunctionen so äuſserst fruchtbaren Lehrsatz von Green ^*) auch
auf die hier vorliegenden Functionen mit dem gröſsten Vortheil anwenden.

Wenn Ψ und Φ zwei Functionen sind, welche innerhalb eines abge-
grenzten Raumes S eindeutig und stetig sind, d. h. überall endliche erste
Differentialquotienten haben, so ist nach jenem Satze von Green
$\int\Psi\frac{d\Phi}{dn}d\omega + \int\int\int\Psi\nabla\Phi dxdydz = \int\Phi\frac{d\Psi}{dn}d\omega + \int\int\int\Phi\nabla\Psi dxdydz$,
wo dω ein Flächenelement der Oberfläche von S, n die nach innen gerichtete
Normale bedeutet, und die Integrationen nach dω über die ganze Oberfläche
von S, die nach dx dy dz durch das ganze Innere von S auszudehnen sind.
Wenn wir auf beiden Seiten dieser Gleichung addiren k² ∫∫∫ΨΦdx dy dz, so
bringen wir den Satz in die Form, welche wir hier brauchen
(7.) $\int\Psi\frac{d\Phi}{dn}d\omega + \int\int\int\Psi(\nabla\Phi + k^2\Phi)dxdydz$
$= \int\Phi\frac{d\Psi}{dn}d\omega + \int\int\int\Phi(\nabla\Psi + k^2\Psi)dxdydz$.

Sind Ψ und Φ dargestellt als Geschwindigkeitspotentiale von Erregungspunk-
ten, die theils innerhalb, theils auſserhalb des Raumes S continuirlich mit der
Dichtigkeit q und p verbreitet sind, so ist nach Gleichung (3.), (5.) und (7.)
(7^a.)$\int\Psi\frac{d\Phi}{dn}d\omega - 4\pi\int\int\int\Psi pdxdydz$
$= \int\Phi\frac{d\Psi}{dn}d\omega - 4\pi\int\int\int\Phi qdxdydz$.

*) Dieses Journal Bd. 44, S. 360.