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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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Eine vorläufige Exposition des im Folgenden bespro-
chenen Inhaltes ist hier wohl nicht möglich, da sich derselbe
kaum in eine knappere Form 1) fügen will; die Ueberschrif-
ten der Paragraphen werden den allgemeinen Fortschritt
des Gedanken's angeben. Ich habe zum Schlusse eine
Reihe von Noten zugefügt, in welchen ich entweder, wo
es im Interesse der allgemeinen Auseinandersetzung des
Textes nützlich schien, besondere Punkte weiter entwickelt
habe, oder in denen ich bemüht war, den abstract mathe-
matischen Standpunkt, der für die Betrachtungen des Tex-
tes massgebend ist, gegen verwandte abzugränzen.

§. 1.
Gruppen von räumlichen Transformationen. Hauptgruppe.
Aufstellung eines allgemeinen Problems.

Der wesentlichste Begriff, der bei den folgenden
Auseinandersetzungen nothwendig ist, ist der einer Gruppe
von räumlichen Aenderungen.

Beliebig viele Transformationen des Raumes 2) ergeben
zusammengesetzt immer wieder eine Transformation. Hat
nun eine gegebene Reihe von Transformationen die Eigen-
schaft, dass jede Aenderung, die aus den ihr angehörigen
durch Zusammensetzung hervorgeht, ihr selbst wieder an-
gehört, so soll die Reihe eine Transformations-
gruppe
3) genannt werden.

1) Diese knappe Form ist ein Mangel der im Folgenden gegebenen
Darstellung, der das Verständniss, wie ich fürchte, wesentlich erschwe-
ren wird. Aber dem hätte wohl nur durch eine sehr viel weitere Aus-
einandersetzung abgeholfen werden können, in der die Einzel-Theorien,
die hier nur berührt werden, ausführlich entwickelt worden wären.
2) Wir denken von den Transformationen immer die Gesammtheit
der räumlichen Gebilde gleichzeitig betroffen und reden desshalb schlecht-
hin von Transformationen des Raumes. Die Transformationen können,
wie z. B. die dualistischen, statt der Puncte andere Elemente einführen;
es wird dies im Texte nicht unterschieden.
3) Begriffsbildung wie Bezeichnung sind herübergenommen von
der Substitutionstheorie, in der nur an Stelle der Transforma-
tionen eines continuirlichen Gebietes die Vertauschungen einer end-
lichen Zahl discreter Grössen auftreten.

Eine vorläufige Exposition des im Folgenden bespro-
chenen Inhaltes ist hier wohl nicht möglich, da sich derselbe
kaum in eine knappere Form 1) fügen will; die Ueberschrif-
ten der Paragraphen werden den allgemeinen Fortschritt
des Gedanken’s angeben. Ich habe zum Schlusse eine
Reihe von Noten zugefügt, in welchen ich entweder, wo
es im Interesse der allgemeinen Auseinandersetzung des
Textes nützlich schien, besondere Punkte weiter entwickelt
habe, oder in denen ich bemüht war, den abstract mathe-
matischen Standpunkt, der für die Betrachtungen des Tex-
tes massgebend ist, gegen verwandte abzugränzen.

§. 1.
Gruppen von räumlichen Transformationen. Hauptgruppe.
Aufstellung eines allgemeinen Problems.

Der wesentlichste Begriff, der bei den folgenden
Auseinandersetzungen nothwendig ist, ist der einer Gruppe
von räumlichen Aenderungen.

Beliebig viele Transformationen des Raumes 2) ergeben
zusammengesetzt immer wieder eine Transformation. Hat
nun eine gegebene Reihe von Transformationen die Eigen-
schaft, dass jede Aenderung, die aus den ihr angehörigen
durch Zusammensetzung hervorgeht, ihr selbst wieder an-
gehört, so soll die Reihe eine Transformations-
gruppe
3) genannt werden.

1) Diese knappe Form ist ein Mangel der im Folgenden gegebenen
Darstellung, der das Verständniss, wie ich fürchte, wesentlich erschwe-
ren wird. Aber dem hätte wohl nur durch eine sehr viel weitere Aus-
einandersetzung abgeholfen werden können, in der die Einzel-Theorien,
die hier nur berührt werden, ausführlich entwickelt worden wären.
2) Wir denken von den Transformationen immer die Gesammtheit
der räumlichen Gebilde gleichzeitig betroffen und reden desshalb schlecht-
hin von Transformationen des Raumes. Die Transformationen können,
wie z. B. die dualistischen, statt der Puncte andere Elemente einführen;
es wird dies im Texte nicht unterschieden.
3) Begriffsbildung wie Bezeichnung sind herübergenommen von
der Substitutionstheorie, in der nur an Stelle der Transforma-
tionen eines continuirlichen Gebietes die Vertauschungen einer end-
lichen Zahl discreter Grössen auftreten.
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[5/0013] Eine vorläufige Exposition des im Folgenden bespro- chenen Inhaltes ist hier wohl nicht möglich, da sich derselbe kaum in eine knappere Form 1) fügen will; die Ueberschrif- ten der Paragraphen werden den allgemeinen Fortschritt des Gedanken’s angeben. Ich habe zum Schlusse eine Reihe von Noten zugefügt, in welchen ich entweder, wo es im Interesse der allgemeinen Auseinandersetzung des Textes nützlich schien, besondere Punkte weiter entwickelt habe, oder in denen ich bemüht war, den abstract mathe- matischen Standpunkt, der für die Betrachtungen des Tex- tes massgebend ist, gegen verwandte abzugränzen. §. 1. Gruppen von räumlichen Transformationen. Hauptgruppe. Aufstellung eines allgemeinen Problems. Der wesentlichste Begriff, der bei den folgenden Auseinandersetzungen nothwendig ist, ist der einer Gruppe von räumlichen Aenderungen. Beliebig viele Transformationen des Raumes 2) ergeben zusammengesetzt immer wieder eine Transformation. Hat nun eine gegebene Reihe von Transformationen die Eigen- schaft, dass jede Aenderung, die aus den ihr angehörigen durch Zusammensetzung hervorgeht, ihr selbst wieder an- gehört, so soll die Reihe eine Transformations- gruppe 3) genannt werden. 1) Diese knappe Form ist ein Mangel der im Folgenden gegebenen Darstellung, der das Verständniss, wie ich fürchte, wesentlich erschwe- ren wird. Aber dem hätte wohl nur durch eine sehr viel weitere Aus- einandersetzung abgeholfen werden können, in der die Einzel-Theorien, die hier nur berührt werden, ausführlich entwickelt worden wären. 2) Wir denken von den Transformationen immer die Gesammtheit der räumlichen Gebilde gleichzeitig betroffen und reden desshalb schlecht- hin von Transformationen des Raumes. Die Transformationen können, wie z. B. die dualistischen, statt der Puncte andere Elemente einführen; es wird dies im Texte nicht unterschieden. 3) Begriffsbildung wie Bezeichnung sind herübergenommen von der Substitutionstheorie, in der nur an Stelle der Transforma- tionen eines continuirlichen Gebietes die Vertauschungen einer end- lichen Zahl discreter Grössen auftreten.

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 5. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/13>, abgerufen am 18.08.2022.