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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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Anschauungsmaterial nur solche Momente herausgreift, die
auch bei projectivischen Umformungen erhalten bleiben.
Wollte man weiterhin zur Betrachtung auch metrischer
Eigenschaften übergehen, so hätte man die letzteren ge-
radezu als Beziehungen zum Kugelkreise einzuführen. Der
so vervollständigte Gedankengang ist für die hier vorlie-
genden Betrachtungen insofern von grosser Bedeutung, als
ein entsprechender Aufbau der Geometrie im Sinne jeder
einzelnen der noch anzuführenden Methoden möglich ist.

§. 4.
Uebertragung durch Abbildung.

Ehe wir in der Besprechung der geometrischen Me-
thoden, die sich neben die elementare und die projectivische
Geometrie stellen, weiter gehen, mögen allgemein einige
Betrachtungen entwickelt werden, die im Folgenden immer
wieder vorkommen und zu denen die bisher berührten
Dinge bereits hinreichend viele Beispiele liefern. Auf diese
Erörterungen bezieht sich der gegenwärtige und der nächst-
folgende Paragraph.

Gesetzt, man habe eine Mannigfaltigkeit A unter Zu-
grundelegung einer Gruppe B untersucht. Führt man so-
dann A durch irgendwelche Transformation in eine andere
Mannigfaltigkeit A' über, so wird aus der Gruppe B von
Aenderungen, die A in sich transformirten, nunmehr eine
Gruppe B', deren Transformationen sich auf A' beziehen.
Dann ist es ein selbstverständliches Princip, dass die
Behandlungsweise von A unter Zugrundelegung
von B die Behandlungsweise von A' unter Zu-
grundelegung von B' ergibt, d. h. jede Eigenschaft,
welche ein in A enthaltenes Gebilde mit Bezug auf die
Gruppe B hat, ergibt eine Eigenschaft des entsprechenden
Gebildes in A' mit Bezug auf die Gruppe B'.

Lassen wir z. B. A eine gerade Linie, B die dreifach
unendlich vielen linearen Transformationen bedeuten, welche
dieselbe in sich überführen. Die Behandlungsweise von A
ist dann eben diejenige, welche die neuere Algebra als

Anschauungsmaterial nur solche Momente herausgreift, die
auch bei projectivischen Umformungen erhalten bleiben.
Wollte man weiterhin zur Betrachtung auch metrischer
Eigenschaften übergehen, so hätte man die letzteren ge-
radezu als Beziehungen zum Kugelkreise einzuführen. Der
so vervollständigte Gedankengang ist für die hier vorlie-
genden Betrachtungen insofern von grosser Bedeutung, als
ein entsprechender Aufbau der Geometrie im Sinne jeder
einzelnen der noch anzuführenden Methoden möglich ist.

§. 4.
Uebertragung durch Abbildung.

Ehe wir in der Besprechung der geometrischen Me-
thoden, die sich neben die elementare und die projectivische
Geometrie stellen, weiter gehen, mögen allgemein einige
Betrachtungen entwickelt werden, die im Folgenden immer
wieder vorkommen und zu denen die bisher berührten
Dinge bereits hinreichend viele Beispiele liefern. Auf diese
Erörterungen bezieht sich der gegenwärtige und der nächst-
folgende Paragraph.

Gesetzt, man habe eine Mannigfaltigkeit A unter Zu-
grundelegung einer Gruppe B untersucht. Führt man so-
dann A durch irgendwelche Transformation in eine andere
Mannigfaltigkeit A' über, so wird aus der Gruppe B von
Aenderungen, die A in sich transformirten, nunmehr eine
Gruppe B', deren Transformationen sich auf A' beziehen.
Dann ist es ein selbstverständliches Princip, dass die
Behandlungsweise von A unter Zugrundelegung
von B die Behandlungsweise von A' unter Zu-
grundelegung von B' ergibt, d. h. jede Eigenschaft,
welche ein in A enthaltenes Gebilde mit Bezug auf die
Gruppe B hat, ergibt eine Eigenschaft des entsprechenden
Gebildes in A' mit Bezug auf die Gruppe B'.

Lassen wir z. B. A eine gerade Linie, B die dreifach
unendlich vielen linearen Transformationen bedeuten, welche
dieselbe in sich überführen. Die Behandlungsweise von A
ist dann eben diejenige, welche die neuere Algebra als

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[13/0021] Anschauungsmaterial nur solche Momente herausgreift, die auch bei projectivischen Umformungen erhalten bleiben. Wollte man weiterhin zur Betrachtung auch metrischer Eigenschaften übergehen, so hätte man die letzteren ge- radezu als Beziehungen zum Kugelkreise einzuführen. Der so vervollständigte Gedankengang ist für die hier vorlie- genden Betrachtungen insofern von grosser Bedeutung, als ein entsprechender Aufbau der Geometrie im Sinne jeder einzelnen der noch anzuführenden Methoden möglich ist. §. 4. Uebertragung durch Abbildung. Ehe wir in der Besprechung der geometrischen Me- thoden, die sich neben die elementare und die projectivische Geometrie stellen, weiter gehen, mögen allgemein einige Betrachtungen entwickelt werden, die im Folgenden immer wieder vorkommen und zu denen die bisher berührten Dinge bereits hinreichend viele Beispiele liefern. Auf diese Erörterungen bezieht sich der gegenwärtige und der nächst- folgende Paragraph. Gesetzt, man habe eine Mannigfaltigkeit A unter Zu- grundelegung einer Gruppe B untersucht. Führt man so- dann A durch irgendwelche Transformation in eine andere Mannigfaltigkeit A' über, so wird aus der Gruppe B von Aenderungen, die A in sich transformirten, nunmehr eine Gruppe B', deren Transformationen sich auf A' beziehen. Dann ist es ein selbstverständliches Princip, dass die Behandlungsweise von A unter Zugrundelegung von B die Behandlungsweise von A' unter Zu- grundelegung von B' ergibt, d. h. jede Eigenschaft, welche ein in A enthaltenes Gebilde mit Bezug auf die Gruppe B hat, ergibt eine Eigenschaft des entsprechenden Gebildes in A' mit Bezug auf die Gruppe B'. Lassen wir z. B. A eine gerade Linie, B die dreifach unendlich vielen linearen Transformationen bedeuten, welche dieselbe in sich überführen. Die Behandlungsweise von A ist dann eben diejenige, welche die neuere Algebra als

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 13. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/21>, abgerufen am 19.04.2024.