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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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§. 5.
Von der Willkürlichkeit in der Wahl des Raumelements. Das Hesse'-
sche Uebertragungsprincip. Die Liniengeometrie.

Als Element der geraden Linie, der Ebene, des Rau-
mes, überhaupt einer zu untersuchenden Mannigfaltigkeit
kann statt des Punctes jedes in der Mannigfaltigkeit ent-
haltene Gebilde: die Punctgruppe, ev. die Curve, die
Fläche u. s. w. verwandt werden 1). Indem über die Zahl
willkürlicher Parameter, von denen man diese Gebilde ab-
hängig setzen will, von Vornherein gar Nichts fest steht,
erscheinen Linie, Ebene, Raum etc. je nach der Wahl des
Elementes mit beliebig vielen Dimensionen behaftet. Aber
so lange wir der geometrischen Untersuchung
dieselbe Gruppe von Aenderungen zu Grunde
legen, bleibt der Inhalt der Geometrie unver-
ändert
, das heisst, jeder Satz, der bei einer Annahme
des Raumelements sich ergab, ist auch ein Satz bei belie-
biger anderer Annahme, nur die Anordnung und Ver-
knüpfung der Sätze ist geändert.

Das Wesentliche ist also die Transformationsgruppe;
die Zahl der Dimensionen, die wir einer Mannigfaltigkeit
beilegen wollen, erscheint als etwas Secundäres.

Die Verknüpfung dieser Bemerkung mit dem Princip
des vorigen Paragraphen ergibt eine Reihe schöner Anwen-
dungen, von denen hier einige entwickelt werden mögen,
da diese Beispiele mehr als alle lange Auseinandersetzung
geeignet scheinen, den Sinn der allgemeinen Betrachtung
darzulegen.

Die projectivische Geometrie auf der Geraden (die
Theorie der binären Formen) ist nach dem vorigen Para-
graphen mit der projectivischen Geometrie auf dem Kegel-
schnitte gleichbedeutend. Auf letzterem mögen wir jetzt
statt des Punctes das Punctepaar als Element betrachten.

1) Vergl. Note III.
§. 5.
Von der Willkürlichkeit in der Wahl des Raumelements. Das Hesse’-
sche Uebertragungsprincip. Die Liniengeometrie.

Als Element der geraden Linie, der Ebene, des Rau-
mes, überhaupt einer zu untersuchenden Mannigfaltigkeit
kann statt des Punctes jedes in der Mannigfaltigkeit ent-
haltene Gebilde: die Punctgruppe, ev. die Curve, die
Fläche u. s. w. verwandt werden 1). Indem über die Zahl
willkürlicher Parameter, von denen man diese Gebilde ab-
hängig setzen will, von Vornherein gar Nichts fest steht,
erscheinen Linie, Ebene, Raum etc. je nach der Wahl des
Elementes mit beliebig vielen Dimensionen behaftet. Aber
so lange wir der geometrischen Untersuchung
dieselbe Gruppe von Aenderungen zu Grunde
legen, bleibt der Inhalt der Geometrie unver-
ändert
, das heisst, jeder Satz, der bei einer Annahme
des Raumelements sich ergab, ist auch ein Satz bei belie-
biger anderer Annahme, nur die Anordnung und Ver-
knüpfung der Sätze ist geändert.

Das Wesentliche ist also die Transformationsgruppe;
die Zahl der Dimensionen, die wir einer Mannigfaltigkeit
beilegen wollen, erscheint als etwas Secundäres.

Die Verknüpfung dieser Bemerkung mit dem Princip
des vorigen Paragraphen ergibt eine Reihe schöner Anwen-
dungen, von denen hier einige entwickelt werden mögen,
da diese Beispiele mehr als alle lange Auseinandersetzung
geeignet scheinen, den Sinn der allgemeinen Betrachtung
darzulegen.

Die projectivische Geometrie auf der Geraden (die
Theorie der binären Formen) ist nach dem vorigen Para-
graphen mit der projectivischen Geometrie auf dem Kegel-
schnitte gleichbedeutend. Auf letzterem mögen wir jetzt
statt des Punctes das Punctepaar als Element betrachten.

1) Vergl. Note III.
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[16/0024] §. 5. Von der Willkürlichkeit in der Wahl des Raumelements. Das Hesse’- sche Uebertragungsprincip. Die Liniengeometrie. Als Element der geraden Linie, der Ebene, des Rau- mes, überhaupt einer zu untersuchenden Mannigfaltigkeit kann statt des Punctes jedes in der Mannigfaltigkeit ent- haltene Gebilde: die Punctgruppe, ev. die Curve, die Fläche u. s. w. verwandt werden 1). Indem über die Zahl willkürlicher Parameter, von denen man diese Gebilde ab- hängig setzen will, von Vornherein gar Nichts fest steht, erscheinen Linie, Ebene, Raum etc. je nach der Wahl des Elementes mit beliebig vielen Dimensionen behaftet. Aber so lange wir der geometrischen Untersuchung dieselbe Gruppe von Aenderungen zu Grunde legen, bleibt der Inhalt der Geometrie unver- ändert, das heisst, jeder Satz, der bei einer Annahme des Raumelements sich ergab, ist auch ein Satz bei belie- biger anderer Annahme, nur die Anordnung und Ver- knüpfung der Sätze ist geändert. Das Wesentliche ist also die Transformationsgruppe; die Zahl der Dimensionen, die wir einer Mannigfaltigkeit beilegen wollen, erscheint als etwas Secundäres. Die Verknüpfung dieser Bemerkung mit dem Princip des vorigen Paragraphen ergibt eine Reihe schöner Anwen- dungen, von denen hier einige entwickelt werden mögen, da diese Beispiele mehr als alle lange Auseinandersetzung geeignet scheinen, den Sinn der allgemeinen Betrachtung darzulegen. Die projectivische Geometrie auf der Geraden (die Theorie der binären Formen) ist nach dem vorigen Para- graphen mit der projectivischen Geometrie auf dem Kegel- schnitte gleichbedeutend. Auf letzterem mögen wir jetzt statt des Punctes das Punctepaar als Element betrachten. 1) Vergl. Note III.

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 16. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/24>, abgerufen am 18.08.2022.