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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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Ausdrücke und operirt principiell nur mit solchen. Die
gleiche Forderung soll man an die formale Behandlung stel-
len, auch wenn andere Gruppen, als die projectivische, zu
Grunde gelegt sind. Denn der Formalismus soll sich doch
mit der Begriffsbildung decken, mag man nun den Formalismus
nur als präcisen und durchsichtigen Ausdruck der Begriffs-
bildung verwerthen, oder will man ihn benutzen, um an
seiner Hand in noch unerforschte Gebiete einzudringen. --

Die Problemstellung, deren wir noch erwähnen wollten,
erwächst durch einen Vergleich der vorgetragenen Anschau-
ungen mit der sog. Galois'schen Theorie der Gleichungen.

In der Galois'schen Theorie, wie hier, concentrirt
sich das Interesse auf Gruppen von Aenderungen. Die
Objecte, auf welche sich die Aenderungen beziehen, sind
allerdings verschieden; man hat es dort mit einer endlichen
Zahl discreter Elemente, hier mit der unendlichen Zahl von
Elementen einer stetigen Mannigfaltigkeit zu thun. Aber
der Vergleich lässt sich bei der Identität des Gruppenbe-
griffes doch weiter verfolgen 1), und es mag dies hier um
so lieber angedeutet werden, als dadurch die Stellung cha-
racterisirt wird, die man gewissen von Lie und mir begon-
nenen Untersuchungen 2) im Sinne der hier entwickelten An-
schauungen zuzuweisen hat.

In der Galois'schen Theorie, wie sie z. B. in Serret's
Traite d'Algebre superieure oder in C. Jordan's Traite
des substitutions dargestellt wird, ist der eigentliche Unter-
suchungsgegenstand die Gruppen- oder Substitutionstheorie
selbst, die Gleichungstheorie fliesst aus ihr als eine An-
wendung. Entsprechend verlangen wir eine Transfor-
mationstheorie, eine Lehre von den Gruppen, welche
von Transformationen gegebener Beschaffenheit erzeugt
werden können. Die Begriffe der Vertauschbarkeit, der

1) Ich erinnere hier daran, dass Grassmann bereits in der Ein-
leitung zur ersten Auflage seiner Ausdehnungslehre (1844) die Combina-
torik und die Ausdehnungslehre parallelisirt.
2) Vergleiche den gemeinsamen Aufsatz: Ueber diejenigen ebenen
Curven, welche durch ein geschlossenes System von einfach unendlich
vielen vertauschbaren linearen Transformationen in sich übergehen.
Math. Annalen Bd. IV.

Ausdrücke und operirt principiell nur mit solchen. Die
gleiche Forderung soll man an die formale Behandlung stel-
len, auch wenn andere Gruppen, als die projectivische, zu
Grunde gelegt sind. Denn der Formalismus soll sich doch
mit der Begriffsbildung decken, mag man nun den Formalismus
nur als präcisen und durchsichtigen Ausdruck der Begriffs-
bildung verwerthen, oder will man ihn benutzen, um an
seiner Hand in noch unerforschte Gebiete einzudringen. —

Die Problemstellung, deren wir noch erwähnen wollten,
erwächst durch einen Vergleich der vorgetragenen Anschau-
ungen mit der sog. Galois’schen Theorie der Gleichungen.

In der Galois’schen Theorie, wie hier, concentrirt
sich das Interesse auf Gruppen von Aenderungen. Die
Objecte, auf welche sich die Aenderungen beziehen, sind
allerdings verschieden; man hat es dort mit einer endlichen
Zahl discreter Elemente, hier mit der unendlichen Zahl von
Elementen einer stetigen Mannigfaltigkeit zu thun. Aber
der Vergleich lässt sich bei der Identität des Gruppenbe-
griffes doch weiter verfolgen 1), und es mag dies hier um
so lieber angedeutet werden, als dadurch die Stellung cha-
racterisirt wird, die man gewissen von Lie und mir begon-
nenen Untersuchungen 2) im Sinne der hier entwickelten An-
schauungen zuzuweisen hat.

In der Galois’schen Theorie, wie sie z. B. in Serret’s
Traité d’Algèbre supérieure oder in C. Jordan’s Traité
des substitutions dargestellt wird, ist der eigentliche Unter-
suchungsgegenstand die Gruppen- oder Substitutionstheorie
selbst, die Gleichungstheorie fliesst aus ihr als eine An-
wendung. Entsprechend verlangen wir eine Transfor-
mationstheorie, eine Lehre von den Gruppen, welche
von Transformationen gegebener Beschaffenheit erzeugt
werden können. Die Begriffe der Vertauschbarkeit, der

1) Ich erinnere hier daran, dass Grassmann bereits in der Ein-
leitung zur ersten Auflage seiner Ausdehnungslehre (1844) die Combina-
torik und die Ausdehnungslehre parallelisirt.
2) Vergleiche den gemeinsamen Aufsatz: Ueber diejenigen ebenen
Curven, welche durch ein geschlossenes System von einfach unendlich
vielen vertauschbaren linearen Transformationen in sich übergehen.
Math. Annalen Bd. IV.
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[39/0047] Ausdrücke und operirt principiell nur mit solchen. Die gleiche Forderung soll man an die formale Behandlung stel- len, auch wenn andere Gruppen, als die projectivische, zu Grunde gelegt sind. Denn der Formalismus soll sich doch mit der Begriffsbildung decken, mag man nun den Formalismus nur als präcisen und durchsichtigen Ausdruck der Begriffs- bildung verwerthen, oder will man ihn benutzen, um an seiner Hand in noch unerforschte Gebiete einzudringen. — Die Problemstellung, deren wir noch erwähnen wollten, erwächst durch einen Vergleich der vorgetragenen Anschau- ungen mit der sog. Galois’schen Theorie der Gleichungen. In der Galois’schen Theorie, wie hier, concentrirt sich das Interesse auf Gruppen von Aenderungen. Die Objecte, auf welche sich die Aenderungen beziehen, sind allerdings verschieden; man hat es dort mit einer endlichen Zahl discreter Elemente, hier mit der unendlichen Zahl von Elementen einer stetigen Mannigfaltigkeit zu thun. Aber der Vergleich lässt sich bei der Identität des Gruppenbe- griffes doch weiter verfolgen 1), und es mag dies hier um so lieber angedeutet werden, als dadurch die Stellung cha- racterisirt wird, die man gewissen von Lie und mir begon- nenen Untersuchungen 2) im Sinne der hier entwickelten An- schauungen zuzuweisen hat. In der Galois’schen Theorie, wie sie z. B. in Serret’s Traité d’Algèbre supérieure oder in C. Jordan’s Traité des substitutions dargestellt wird, ist der eigentliche Unter- suchungsgegenstand die Gruppen- oder Substitutionstheorie selbst, die Gleichungstheorie fliesst aus ihr als eine An- wendung. Entsprechend verlangen wir eine Transfor- mationstheorie, eine Lehre von den Gruppen, welche von Transformationen gegebener Beschaffenheit erzeugt werden können. Die Begriffe der Vertauschbarkeit, der 1) Ich erinnere hier daran, dass Grassmann bereits in der Ein- leitung zur ersten Auflage seiner Ausdehnungslehre (1844) die Combina- torik und die Ausdehnungslehre parallelisirt. 2) Vergleiche den gemeinsamen Aufsatz: Ueber diejenigen ebenen Curven, welche durch ein geschlossenes System von einfach unendlich vielen vertauschbaren linearen Transformationen in sich übergehen. Math. Annalen Bd. IV.

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 39. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/47>, abgerufen am 20.04.2024.