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Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

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beliebigen Fläche auf die Ebene oder die Kugelfläche conform übertragen kann.

Der Beweis gestaltet sich unmittelbar, wenn man die Bestandteile irgend einer auf einer Fläche existirenden complexen Function des Ortes, , auf der Fläche selbst als krummlinige Coordinaten einführt. Dann müssen nämlich die Coefficienten E, F, G in dem Ausdrucke des Bogenelementes so beschaffen werden, dass Identitäten entstehen, wenn man in die Gleichungen (2)-(5) des vorigen Paragraphen für p und q und gleichzeitig für u und v bez. x und y einführt. Diess bedingt, wie man sofort ersieht, dass , wird. Hierdurch aber verwandeln sich jene Gleichungen in die wohlbekannten:

Sie gehen also direct in jene Gleichungen über, durch welche man Functionen des Argumentes zu definiren pflegt, so dass in der That eine Function von wird, was zu beweisen war.

Zugleich erledigt sich, was hinsichtlich conformer Abbildung behauptet wurde. Denn ans der Form des Bogenelementes

folgt unmittelbar, dass unsere Fläche durch auf die -Ebene conform übertragen wird. Ich will dieses Resultat in etwas allgemeinerer Form aussprechen, indem ich sage:

Wenn man auf zwei Flächen zwei complexe Functionen des Ortes kennt, und man bezieht die Flächen so aufeinander, dass entsprechende Puncte respective gleiche Functionswerthe aufweisen, so sind die Flächen conform auf einander bezogen.

Es ist dies die Umkehr des ähnlich lautenden am Schlusse des vorigen Paragraphen aufgestellten Satzes.

Alle diese Theoreme haben, soweit sie sich auf beliebige Flächen beziehen, für's Erste nur dann einen klaren Sinn, wenn man seine Aufmerksamkeit auf kleine Stücke der Flächen beschränkt, innerhalb deren die complexen Functionen des Ortes weder Unendlichkeitspuncte noch Kreuzungspuncte

beliebigen Fläche auf die Ebene oder die Kugelfläche conform übertragen kann.

Der Beweis gestaltet sich unmittelbar, wenn man die Bestandteile irgend einer auf einer Fläche existirenden complexen Function des Ortes, , auf der Fläche selbst als krummlinige Coordinaten einführt. Dann müssen nämlich die Coëfficienten E, F, G in dem Ausdrucke des Bogenelementes so beschaffen werden, dass Identitäten entstehen, wenn man in die Gleichungen (2)-(5) des vorigen Paragraphen für p und q und gleichzeitig für u und v bez. x und y einführt. Diess bedingt, wie man sofort ersieht, dass , wird. Hierdurch aber verwandeln sich jene Gleichungen in die wohlbekannten:

Sie gehen also direct in jene Gleichungen über, durch welche man Functionen des Argumentes zu definiren pflegt, so dass in der That eine Function von wird, was zu beweisen war.

Zugleich erledigt sich, was hinsichtlich conformer Abbildung behauptet wurde. Denn ans der Form des Bogenelementes

folgt unmittelbar, dass unsere Fläche durch auf die -Ebene conform übertragen wird. Ich will dieses Resultat in etwas allgemeinerer Form aussprechen, indem ich sage:

Wenn man auf zwei Flächen zwei complexe Functionen des Ortes kennt, und man bezieht die Flächen so aufeinander, dass entsprechende Puncte respective gleiche Functionswerthe aufweisen, so sind die Flächen conform auf einander bezogen.

Es ist dies die Umkehr des ähnlich lautenden am Schlusse des vorigen Paragraphen aufgestellten Satzes.

Alle diese Theoreme haben, soweit sie sich auf beliebige Flächen beziehen, für's Erste nur dann einen klaren Sinn, wenn man seine Aufmerksamkeit auf kleine Stücke der Flächen beschränkt, innerhalb deren die complexen Functionen des Ortes weder Unendlichkeitspuncte noch Kreuzungspuncte

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 als krummlinige Coordinaten einführt. Dann müssen nämlich
 die Coëfficienten <hi rendition="#i">E</hi>, <hi rendition="#i">F</hi>, <hi rendition="#i">G</hi> in dem Ausdrucke des Bogenelementes
 so beschaffen werden, dass Identitäten entstehen,
 wenn man in die Gleichungen (2)-(5) des vorigen Paragraphen
 für <hi rendition="#i">p</hi> und <hi rendition="#i">q</hi> und gleichzeitig für <hi rendition="#i">u</hi> und <hi rendition="#i">v</hi> bez. <hi rendition="#i">x</hi> und <hi rendition="#i">y</hi> einführt. <hi rendition="#i">Diess bedingt, wie man sofort ersieht, dass <formula notation="TeX">F = o</formula>,
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 in die wohlbekannten:<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX">
 \[
 \frac{\partial^2{u}}{\partial{x^2}} +
 \frac{\partial^2{u}}{\partial{y^2}} = 0;\qquad
 \frac{\partial{u}}{\partial{x}} =
 \frac{\partial{v}}{\partial{y}},\qquad
 \frac{\partial{u}}{\partial{y}} = -
 \frac{\partial{v}}{\partial{x}};\text{ etc.}
 \]
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Sie gehen also direct in jene Gleichungen über, durch welche
 man Functionen des Argumentes <formula notation="TeX">(x + iy)</formula> zu definiren pflegt,
 so dass <formula notation="TeX">u + iv</formula> in der That eine Function von <formula notation="TeX">x + iy</formula> wird,
 was zu beweisen war.</p>
          <p>Zugleich erledigt sich, was hinsichtlich conformer Abbildung
 behauptet wurde. Denn ans der Form des Bogenelementes<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX">
 \[
 ds^2 = E (dx^2 + dy^2)
 \]
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folgt unmittelbar, dass unsere Fläche durch <formula notation="TeX">x+iy</formula> auf die
 <formula notation="TeX">XY</formula>-Ebene conform übertragen wird. Ich will dieses Resultat
 in etwas allgemeinerer Form aussprechen, indem
 ich sage:</p>
          <p> <hi rendition="#i">Wenn man auf zwei Flächen zwei complexe Functionen
 des Ortes kennt, und man bezieht die Flächen so aufeinander,
 dass entsprechende Puncte respective gleiche Functionswerthe
 aufweisen, so sind die Flächen conform auf einander
 bezogen.</hi> </p>
          <p>Es ist dies die Umkehr des ähnlich lautenden am Schlusse
 des vorigen Paragraphen aufgestellten Satzes.</p>
          <p>Alle diese Theoreme haben, soweit sie sich auf beliebige
 Flächen beziehen, für's Erste nur dann einen klaren Sinn,
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 Flächen beschränkt, innerhalb deren die complexen Functionen
 des Ortes weder Unendlichkeitspuncte noch Kreuzungspuncte
</p>
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      </div>
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</TEI>
[22/0030] beliebigen Fläche auf die Ebene oder die Kugelfläche conform übertragen kann. Der Beweis gestaltet sich unmittelbar, wenn man die Bestandteile [FORMEL] irgend einer auf einer Fläche existirenden complexen Function des Ortes, [FORMEL], auf der Fläche selbst als krummlinige Coordinaten einführt. Dann müssen nämlich die Coëfficienten E, F, G in dem Ausdrucke des Bogenelementes so beschaffen werden, dass Identitäten entstehen, wenn man in die Gleichungen (2)-(5) des vorigen Paragraphen für p und q und gleichzeitig für u und v bez. x und y einführt. Diess bedingt, wie man sofort ersieht, dass [FORMEL], [FORMEL] wird. Hierdurch aber verwandeln sich jene Gleichungen in die wohlbekannten: [FORMEL] Sie gehen also direct in jene Gleichungen über, durch welche man Functionen des Argumentes [FORMEL] zu definiren pflegt, so dass [FORMEL] in der That eine Function von [FORMEL] wird, was zu beweisen war. Zugleich erledigt sich, was hinsichtlich conformer Abbildung behauptet wurde. Denn ans der Form des Bogenelementes [FORMEL] folgt unmittelbar, dass unsere Fläche durch [FORMEL] auf die [FORMEL]-Ebene conform übertragen wird. Ich will dieses Resultat in etwas allgemeinerer Form aussprechen, indem ich sage: Wenn man auf zwei Flächen zwei complexe Functionen des Ortes kennt, und man bezieht die Flächen so aufeinander, dass entsprechende Puncte respective gleiche Functionswerthe aufweisen, so sind die Flächen conform auf einander bezogen. Es ist dies die Umkehr des ähnlich lautenden am Schlusse des vorigen Paragraphen aufgestellten Satzes. Alle diese Theoreme haben, soweit sie sich auf beliebige Flächen beziehen, für's Erste nur dann einen klaren Sinn, wenn man seine Aufmerksamkeit auf kleine Stücke der Flächen beschränkt, innerhalb deren die complexen Functionen des Ortes weder Unendlichkeitspuncte noch Kreuzungspuncte

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 22. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/30>, abgerufen am 08.08.2022.