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Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

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endliche Functionen linear unabhängig, wenn zwischen ihnen keinerlei Relation:

besteht, unter beliebige complexe Constanten verstanden. Dann haben wir sofort:

Die p überall endlichen Functionen

sind linear unabhängig.

Wenn nämlich eine lineare Abhängigkeit bestünde, so könnte man in ihr das Reelle und Imaginäre sondern und erhielte dadurch lineare Beziehungen zwischen den u und v.

Des Weiteren aber folgt: Jede beliebige überall endliche Function setzt sich aus unseren in der Form zusammen:

In der That können wir durch geeignete Wahl der complexen Constanten bei der linearen Unabhängigkeit der erreichen, dass eine durch vorstehende Formel definirte Function w an den Querschnitten beliebig vorgegebene Grössen als Periodicitätsmoduln des reellen Theils aufweist.

Diess ist das Theorem, welches wir hinsichtlich der Darstellung überall endlicher Functionen im gegenwärtigen Paragraphen aufzustellen hatten. Der Uebergang zu Functionen mit Unendlichkeitsstellen ist nun sehr leicht zu bewerkstelligen.

Es seien die Punkte, in denen unsere Function in irgendwie vorgeschriebener Weise unendlich werden soll. Wir wollen dann einen Hülfspunct einführen und eine Reihe von einzelnen Functionen


construiren, von denen jede einzelne nur in einem der Puncte , und zwar in der für diesen Punct vorgeschriebenen Weise, unendlich werden soll und überdies in einen logarithmischen Unstetigkeitspunct besitzen mag, dessen Residuum dem, zu dem betreffenden gehörigen, logarithmischen Residuum entgegengesetzt gleich kommt. Die Summe

wird dann in stetig; denn die Summe aller zu den Unstetigkeitspuncten gehörigen Residua ist, wie wir wissen,

endliche Functionen linear unabhängig, wenn zwischen ihnen keinerlei Relation:

besteht, unter beliebige complexe Constanten verstanden. Dann haben wir sofort:

Die p überall endlichen Functionen

sind linear unabhängig.

Wenn nämlich eine lineare Abhängigkeit bestünde, so könnte man in ihr das Reelle und Imaginäre sondern und erhielte dadurch lineare Beziehungen zwischen den u und v.

Des Weiteren aber folgt: Jede beliebige überall endliche Function setzt sich aus unseren in der Form zusammen:

In der That können wir durch geeignete Wahl der complexen Constanten bei der linearen Unabhängigkeit der erreichen, dass eine durch vorstehende Formel definirte Function w an den Querschnitten beliebig vorgegebene Grössen als Periodicitätsmoduln des reellen Theils aufweist.

Diess ist das Theorem, welches wir hinsichtlich der Darstellung überall endlicher Functionen im gegenwärtigen Paragraphen aufzustellen hatten. Der Uebergang zu Functionen mit Unendlichkeitsstellen ist nun sehr leicht zu bewerkstelligen.

Es seien die Punkte, in denen unsere Function in irgendwie vorgeschriebener Weise unendlich werden soll. Wir wollen dann einen Hülfspunct einführen und eine Reihe von einzelnen Functionen


construiren, von denen jede einzelne nur in einem der Puncte , und zwar in der für diesen Punct vorgeschriebenen Weise, unendlich werden soll und überdies in einen logarithmischen Unstetigkeitspunct besitzen mag, dessen Residuum dem, zu dem betreffenden gehörigen, logarithmischen Residuum entgegengesetzt gleich kommt. Die Summe

wird dann in stetig; denn die Summe aller zu den Unstetigkeitspuncten gehörigen Residua ist, wie wir wissen,

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[42/0050] endliche Functionen [FORMEL] linear unabhängig, wenn zwischen ihnen keinerlei Relation: [FORMEL] besteht, unter [FORMEL] beliebige complexe Constanten verstanden. Dann haben wir sofort: Die p überall endlichen Functionen [FORMEL] sind linear unabhängig. Wenn nämlich eine lineare Abhängigkeit bestünde, so könnte man in ihr das Reelle und Imaginäre sondern und erhielte dadurch lineare Beziehungen zwischen den u und v. Des Weiteren aber folgt: Jede beliebige überall endliche Function setzt sich aus unseren [FORMEL] in der Form zusammen: [FORMEL] In der That können wir durch geeignete Wahl der complexen Constanten [FORMEL] bei der linearen Unabhängigkeit der [FORMEL] erreichen, dass eine durch vorstehende Formel definirte Function w an den [FORMEL] Querschnitten beliebig vorgegebene Grössen als Periodicitätsmoduln des reellen Theils aufweist. Diess ist das Theorem, welches wir hinsichtlich der Darstellung überall endlicher Functionen im gegenwärtigen Paragraphen aufzustellen hatten. Der Uebergang zu Functionen mit Unendlichkeitsstellen ist nun sehr leicht zu bewerkstelligen. Es seien [FORMEL] die Punkte, in denen unsere Function in irgendwie vorgeschriebener Weise unendlich werden soll. Wir wollen dann einen Hülfspunct [FORMEL] einführen und eine Reihe von einzelnen Functionen [FORMEL] construiren, von denen jede einzelne nur in einem der Puncte [FORMEL], und zwar in der für diesen Punct vorgeschriebenen Weise, unendlich werden soll und überdies in [FORMEL] einen logarithmischen Unstetigkeitspunct besitzen mag, dessen Residuum dem, zu dem betreffenden [FORMEL] gehörigen, logarithmischen Residuum entgegengesetzt gleich kommt. Die Summe [FORMEL] wird dann in [FORMEL] stetig; denn die Summe aller zu den Unstetigkeitspuncten [FORMEL] gehörigen Residua ist, wie wir wissen,

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 42. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/50>, abgerufen am 30.06.2022.