Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

im Allgemeinen nur ein Punct der Fläche. Gleichung und Fläche sind sozusagen eindeutig auf einander bezogen.

Es sei jetzt $w_1$ eine neue eindeutige Function auf unserer Fläche, also jedenfalls eine algebraische Function von z. Dann kann man die Art dieser algebraischen Function, nachdem einmal die Gleichung $f(w,z) = 0$ unter der angegebenen Voraussetzung gebildet ist, mit zwei Worten kennzeichnen. Man zeigt nämlich, dass $w_1$ eine rationale Function von w und z ist, und dass auch umgekehrt jede rationale Function von w und z eine Function vom Charakter des $w_1$ abgibt. Das Letztere ist selbstverständlich. Denn eine rationale Function von w und z ist in unserer Fläche eindeutig; überdiess als analytische Function von z eine complexe Function des Ortes in der Fläche. Aber auch das Erstere ist leicht zu beweisen. Man bezeichne die m Werthe von w, die zu einem beliebigen Werthe von z gehören, mit $w^{(1)}$, $w^{(2)}$, $\dotsc w^{(m)}$ (allgemein $w^{(\alpha)}$), die entsprechenden Werthe von $w_1$ (die nicht nothwendig alle verschieden zu sein brauchen) mit $w_1^{(1)}$, $w_1^{(2)}$, $\dotsc w_1^{(m)}$. Dann ist die Summe:
$w_1^{(1)}w^{(1)^\nu} + w_1^{(2)}w^{(2)^\nu} + \dotsb w_1^{(m)}w^{(m)^\nu}$
(wo $\nu$ eine beliebige, positive oder negative ganze Zahl bedeuten soll) als symmetrische Function der verschiedenen Werthe $w_1^{(\alpha)}w^{(\alpha)^\nu}$ eine eindeutige Function von z, und also, als algebraische Function, eine rationale Function von z. Aus m beliebigen der so entstehenden Gleichungen kann man $w_1^{(1)}$, $w_1^{(2)}$, $\dotsc w_1^{(m)}$ als linear vorkommende Unbekannte berechnen, und es zeigt dann eine leichte Discussion, dass in der That das einzelne $w_1^{(\alpha)}$ eine rationale Function des zugehörigen $w^{(\alpha)}$ und des z geworden ist. —

Von diesem Satze ausgehend bestimmt man nun auch sofort den Charakter derjenigen Functionen von z, welche durch die von uns in Betracht gezogenen mehrdeutigen Functionen des Ortes geliefert werden. Sei W eine solche Function. Dann ist W jedenfalls eine analytische Function von z; man

Im Besonderen kann diess anders sein. Wenn man w und z als Parallel-Coordinaten, die zwischen ihnen bestehende Gleichung durch eine Curve deutet, so sind es, wie man weiss, die Doppelpuncte dieser Curve, welche jenen besonderen Vorkommnissen entsprechen.

Vergl. die eingehende Beweisführung bei Prym, Borchardt's Journal, Bd. 83, p. 251 ff.: Beweis eines Riemann'schen Satzes.