Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.
entsprechen, mit denen Riemann, wie bereits in der Vorrede
bemerkt, seine Dissertation abschloss. Ich werde mich dabei,
was die Fälle Indem wir uns zuvörderst nach conformen Abbildungen
einer geschlossenen Fläche auf sich selbst fragen, haben wir
eine Unterscheidung einzuführen, von der bislang noch nicht
die Rede war: die Abbildung kann ohne Umlegung der Winkel
geschehen oder mit Umlegung derselben. Wir haben eine Abbildung
der einen Art, wenn wir eine Kugel durch Drehung
um den Mittelpunct mit sich selbst zur Deckung bringen;
wir bekommen die zweite Art, wenn wir zu demselben Zwecke
eine Spiegelung an einer Diametralebene verwenden. Die
analytische Behandlung, wie wir sie bisher benutzten, entspricht
nur den Abbildungen der ersten Art. Sind Entnehmen wir zunächst den Entwickelungen des vorigen Paragraphen, was sich auf Abbildung der ersten Art bezieht. Indem wir uns möglichst geometrischer Ausdrucksweise bedienen, formuliren wir die folgenden Theoreme: Flächen Bei den Flächen Ist Mit diesen Sätzen ist natürlich nicht ausgeschlossen, dass
besondere Flächen entsprechen, mit denen Riemann, wie bereits in der Vorrede
bemerkt, seine Dissertation abschloss. Ich werde mich dabei,
was die Fälle Indem wir uns zuvörderst nach conformen Abbildungen
einer geschlossenen Fläche auf sich selbst fragen, haben wir
eine Unterscheidung einzuführen, von der bislang noch nicht
die Rede war: die Abbildung kann ohne Umlegung der Winkel
geschehen oder mit Umlegung derselben. Wir haben eine Abbildung
der einen Art, wenn wir eine Kugel durch Drehung
um den Mittelpunct mit sich selbst zur Deckung bringen;
wir bekommen die zweite Art, wenn wir zu demselben Zwecke
eine Spiegelung an einer Diametralebene verwenden. Die
analytische Behandlung, wie wir sie bisher benutzten, entspricht
nur den Abbildungen der ersten Art. Sind Entnehmen wir zunächst den Entwickelungen des vorigen Paragraphen, was sich auf Abbildung der ersten Art bezieht. Indem wir uns möglichst geometrischer Ausdrucksweise bedienen, formuliren wir die folgenden Theoreme: Flächen Bei den Flächen Ist Mit diesen Sätzen ist natürlich nicht ausgeschlossen, dass
besondere Flächen <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div> <p><pb facs="#f0078" n="70"/> entsprechen, mit denen Riemann, wie bereits in der Vorrede bemerkt, seine Dissertation abschloss. Ich werde mich dabei, was die Fälle <formula notation="TeX">p = 0</formula> und <formula notation="TeX">p = 1</formula> angeht, um nicht zu weitläufig zu werden, vielfach auf eine blosse Angabe der Resultate oder eine Andeutung ihres Beweises beschränken müssen.</p> <p>Indem wir uns zuvörderst nach conformen Abbildungen einer geschlossenen Fläche auf sich selbst fragen, haben wir eine Unterscheidung einzuführen, von der bislang noch nicht die Rede war: <hi rendition="#i">die Abbildung kann ohne Umlegung der Winkel geschehen oder mit Umlegung derselben</hi>. Wir haben eine Abbildung der einen Art, wenn wir eine Kugel durch Drehung um den Mittelpunct mit sich selbst zur Deckung bringen; wir bekommen die zweite Art, wenn wir zu demselben Zwecke eine Spiegelung an einer Diametralebene verwenden. Die analytische Behandlung, wie wir sie bisher benutzten, entspricht nur den Abbildungen der ersten Art. Sind <formula notation="TeX">u + iv</formula> und <formula notation="TeX">u_1 + iv_1</formula> zwei complexe Functionen des Ortes auf derselben Fläche, so liefert <formula notation="TeX">u = u_1</formula>, <formula notation="TeX">v = v_1</formula> die allgemeinste Abbildung erster Art (vergl. §. 6). Aber es ist leicht zu sehen, wie man die Erweiterung zu treffen hat, um auch Abbildungen zweiter Art zu umfassen. <hi rendition="#i">Man hat einfach <formula notation="TeX">u = u_1</formula>, <formula notation="TeX">v = - v_1</formula> zu setzen, um eine Abbildung zweiter Art zu haben</hi>.</p> <p>Entnehmen wir zunächst den Entwickelungen des vorigen Paragraphen, was sich auf Abbildung der ersten Art bezieht. Indem wir uns möglichst geometrischer Ausdrucksweise bedienen, formuliren wir die folgenden Theoreme:</p> <p> <hi rendition="#i">Flächen <formula notation="TeX">p = 0</formula> oder <formula notation="TeX">p = 1</formula> können immer, Flächen <formula notation="TeX">p > 1</formula> niemals unendlich oft durch Abbildung der ersten Art in sich übergeführt werden.</hi> </p> <p> <hi rendition="#i">Bei den Flächen <formula notation="TeX">p = 0</formula> ist die einzelne Abbildung der ersten Art bestimmt, wenn man drei beliebige Puncte der Fläche drei beliebigen Puncten derselben zugeordnet hat.</hi> </p> <p> <hi rendition="#i">Ist <formula notation="TeX">p = 1</formula>, so darf man einen beliebigen Punct der Fläche einem zweiten nach Willkür zuweisen, und hat dann noch zur Bestimmung der Abbildung erster Art im Allgemeinen eine zweifache, im besonderen Falle eine vierfache oder sechsfache Möglichkeit.</hi> </p> <p>Mit diesen Sätzen ist natürlich nicht ausgeschlossen, dass besondere Flächen <formula notation="TeX">p > 1</formula> durch <hi rendition="#i">getrennte</hi> Transformationen der ersten Art in sich übergehen mögen. Tritt diess ein, </p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [70/0078]
entsprechen, mit denen Riemann, wie bereits in der Vorrede bemerkt, seine Dissertation abschloss. Ich werde mich dabei, was die Fälle [FORMEL] und [FORMEL] angeht, um nicht zu weitläufig zu werden, vielfach auf eine blosse Angabe der Resultate oder eine Andeutung ihres Beweises beschränken müssen.
Indem wir uns zuvörderst nach conformen Abbildungen einer geschlossenen Fläche auf sich selbst fragen, haben wir eine Unterscheidung einzuführen, von der bislang noch nicht die Rede war: die Abbildung kann ohne Umlegung der Winkel geschehen oder mit Umlegung derselben. Wir haben eine Abbildung der einen Art, wenn wir eine Kugel durch Drehung um den Mittelpunct mit sich selbst zur Deckung bringen; wir bekommen die zweite Art, wenn wir zu demselben Zwecke eine Spiegelung an einer Diametralebene verwenden. Die analytische Behandlung, wie wir sie bisher benutzten, entspricht nur den Abbildungen der ersten Art. Sind [FORMEL] und [FORMEL] zwei complexe Functionen des Ortes auf derselben Fläche, so liefert [FORMEL], [FORMEL] die allgemeinste Abbildung erster Art (vergl. §. 6). Aber es ist leicht zu sehen, wie man die Erweiterung zu treffen hat, um auch Abbildungen zweiter Art zu umfassen. Man hat einfach [FORMEL], [FORMEL] zu setzen, um eine Abbildung zweiter Art zu haben.
Entnehmen wir zunächst den Entwickelungen des vorigen Paragraphen, was sich auf Abbildung der ersten Art bezieht. Indem wir uns möglichst geometrischer Ausdrucksweise bedienen, formuliren wir die folgenden Theoreme:
Flächen [FORMEL] oder [FORMEL] können immer, Flächen [FORMEL] niemals unendlich oft durch Abbildung der ersten Art in sich übergeführt werden.
Bei den Flächen [FORMEL] ist die einzelne Abbildung der ersten Art bestimmt, wenn man drei beliebige Puncte der Fläche drei beliebigen Puncten derselben zugeordnet hat.
Ist [FORMEL], so darf man einen beliebigen Punct der Fläche einem zweiten nach Willkür zuweisen, und hat dann noch zur Bestimmung der Abbildung erster Art im Allgemeinen eine zweifache, im besonderen Falle eine vierfache oder sechsfache Möglichkeit.
Mit diesen Sätzen ist natürlich nicht ausgeschlossen, dass besondere Flächen [FORMEL] durch getrennte Transformationen der ersten Art in sich übergehen mögen. Tritt diess ein,
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| Zitationshilfe: | Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 70. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/78>, abgerufen am 19.04.2024. |
