Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

1) Wenn wir eine Kugel durch Spiegelung an einer Diametralebene mit sich zur Deckung bringen, so bildet der grösste Kreis, in welchem sie von der Diametralebene geschnitten wird, eine Uebergangscurve. Wir erhalten eine Zuordnung der anderen Art indem wir je zwei solche Puncte der Kugel entsprechend setzen, welche die Endpuncte eines Durchmessers bilden. Beide Beispiele sind leicht zu generalisiren. Die analytische Darstellung ist diese. Wenn eine Uebergangscurve existirt, so gibt es eindeutige Functionen des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte, die auf der Uebergangscurve reelle Werthe annehmen. Heisst eine derselben $x + iy$, so ist die Umformung, wie oben schon als Beispiel angegeben, durch $x_{1} = x$, $y_{1} = -y$ gegeben. — Im zweiten Falle kann man eine Function $x + iy$ so wählen, dass ihre Werthe $\infty$ und 0, sowie $+1$ und $-1$ zusammengeordnete Puncte vorstellen. Dann ist
$x_1 - iy_1 = \frac{-1}{x+iy}$
die analytische Formel der betreffenden Umänderung.

2) Im Falle $p = 1$ müssen wir die Invariante J, wie wir wissen, jedenfalls reell nehmen. Sei dieselbe zunächst $> 1$. Dann können wir das zugehörige überall endliche Integral W (durch Zufügung eines geigneten constanten Factors) so normiren, dass die eine Periode reell, gleich a, die andere rein imaginär, gleich $ib$, wird. Setzen wir dann (für $W = U + iV$):
$U_1 = U,\quad V_1 = -V$
so haben wir eine symmetrische Umformung der Fläche $p = 1$ mit den zwei Uebergangscurven:
$V = o,\quad V = \frac{b}{2}$
schreiben wir dagegen:
$U_1 = U + \frac{a}{2},\quad V_1 = -V,$
was wieder eine symmetrische Umformung unserer Fläche ist, so haben wir den Fall, in welchem keine Uebergangscurve entsteht. — Der Fall mit nur einer Uebergangscurve tritt ein, wenn wir $J < 1$ nehmen. Wir können dann W so wählen, dass seine beiden Perioden conjugirt complex werden.