Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.
Wir schreiben dann wieder Neben die hiermit erläuterte erste Unterscheidung der
symmetrischen Flächen nach der Zahl der Uebergangscurven
stellt sich aber noch eine zweite. Ich will die Fälle von 0
oder Diese Sätze besitzen eine gewisse Analogie mit den Resultaten,
welche in der analytischen Geometrie die gestaltliche
Untersuchung der Curven von gegebenen p erzielt hat. Und in der That zeigt sich, dass diese Analogie eine begründete
ist. Die analytische Geometrie beschäftigt sich bei
jenen Untersuchungen (zunächst) nur mit solchen Gleichungen Vergl. Harnack: Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen
Curven, in Bd. 10 der Mathematischen Annalen, p. 189 ff.; vergleiche
ferner p. 415, 416 daselbst, wo ich die Eintheilung jener Curven
in zweierlei Arten gegeben habe. Vielleicht ist es zweckmässig, bei
diesen Untersuchungen die Lehre von den symmetrischen Flächen und
die Riemann'sche Theorie, so wie beide hier im Texte dargestellt
werden, geradezu als Ausgangspunct zu wählen.
Wir schreiben dann wieder Neben die hiermit erläuterte erste Unterscheidung der
symmetrischen Flächen nach der Zahl der Uebergangscurven
stellt sich aber noch eine zweite. Ich will die Fälle von 0
oder Diese Sätze besitzen eine gewisse Analogie mit den Resultaten,
welche in der analytischen Geometrie die gestaltliche
Untersuchung der Curven von gegebenen p erzielt hat. Und in der That zeigt sich, dass diese Analogie eine begründete
ist. Die analytische Geometrie beschäftigt sich bei
jenen Untersuchungen (zunächst) nur mit solchen Gleichungen Vergl. Harnack: Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen
Curven, in Bd. 10 der Mathematischen Annalen, p. 189 ff.; vergleiche
ferner p. 415, 416 daselbst, wo ich die Eintheilung jener Curven
in zweierlei Arten gegeben habe. Vielleicht ist es zweckmässig, bei
diesen Untersuchungen die Lehre von den symmetrischen Flächen und
die Riemann'sche Theorie, so wie beide hier im Texte dargestellt
werden, geradezu als Ausgangspunct zu wählen.
<TEI> <text> <body> <div n="1"> <div> <p><pb facs="#f0082" n="74"/> Wir schreiben dann wieder<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ U_1 = U,\quad V_1 = -V \] </formula><lb/> und haben eine symmetrische Umformung mit der einen Uebergangscurve <formula notation="TeX">V = 0</formula>.</p> <p>Neben die hiermit erläuterte erste Unterscheidung der symmetrischen Flächen nach der <hi rendition="#i">Zahl</hi> der Uebergangscurven stellt sich aber noch eine zweite. Ich will die Fälle von <hi rendition="#i">0</hi> oder <formula notation="TeX">(p + 1)</formula> Uebergangscurven einen Augenblick ausschliessen. Dann bietet sich von vorneherein eine doppelte Möglichkeit. <hi rendition="#i">Eine Zerschneidung der Fläche längs sämmtlicher Uebergangscurven mag nämlich entweder ein Zerfallen der Fläche herbeiführen, oder nicht.</hi> Es sei <formula notation="TeX">\pi</formula> die Zahl der Uebergangscurven. Man zeigt dann leicht, dass <formula notation="TeX">p - \pi</formula> ungerade sein muss, wenn ein Zerfallen eintreten soll. Eine weitere Beschränkung existirt nicht, wie man an Beispielen beweist. Wir wollen dementsprechend symmetrische Flächen <hi rendition="#i">der einen und der andern Art</hi> unterscheiden und den ersteren (den zerfallenden) Flächen die Fläche mit <formula notation="TeX">(p + 1)</formula> Uebergangscurven, den letzteren die Fläche ohne Uebergangscurve zurechnen.</p> <p>Diese Sätze besitzen eine gewisse Analogie mit den Resultaten, welche in der analytischen Geometrie die gestaltliche Untersuchung der Curven von gegebenen <hi rendition="#i">p</hi> erzielt hat.<note place="foot"><p>Vergl. Harnack: Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven, in Bd. 10 der Mathematischen Annalen, p. 189 ff.; vergleiche ferner p. 415, 416 daselbst, wo ich die Eintheilung jener Curven in zweierlei Arten gegeben habe. Vielleicht ist es zweckmässig, bei diesen Untersuchungen die Lehre von den symmetrischen Flächen und die Riemann'sche Theorie, so wie beide hier im Texte dargestellt werden, geradezu als Ausgangspunct zu wählen.</p></note> Und in der That zeigt sich, dass diese Analogie eine begründete ist. Die analytische Geometrie beschäftigt sich bei jenen Untersuchungen (zunächst) nur mit solchen Gleichungen<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ f(w,z) = 0, \] </formula><lb/> welche reelle Coefficienten besitzen. Beachten wir zunächst, dass jede solche Gleichung über der <hi rendition="#i">z</hi>-Ebene in der That eine symmetrische Riemann'sche Fläche bestimmt, insofern ja die Gleichung und also auch die Fläche ungeändert bestehen bleibt, wenn man <hi rendition="#i">w</hi> und <hi rendition="#i">z</hi> gleichzeitig durch ihre conjugirten Werthe </p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [74/0082]
Wir schreiben dann wieder
[FORMEL]
und haben eine symmetrische Umformung mit der einen Uebergangscurve [FORMEL].
Neben die hiermit erläuterte erste Unterscheidung der symmetrischen Flächen nach der Zahl der Uebergangscurven stellt sich aber noch eine zweite. Ich will die Fälle von 0 oder [FORMEL] Uebergangscurven einen Augenblick ausschliessen. Dann bietet sich von vorneherein eine doppelte Möglichkeit. Eine Zerschneidung der Fläche längs sämmtlicher Uebergangscurven mag nämlich entweder ein Zerfallen der Fläche herbeiführen, oder nicht. Es sei [FORMEL] die Zahl der Uebergangscurven. Man zeigt dann leicht, dass [FORMEL] ungerade sein muss, wenn ein Zerfallen eintreten soll. Eine weitere Beschränkung existirt nicht, wie man an Beispielen beweist. Wir wollen dementsprechend symmetrische Flächen der einen und der andern Art unterscheiden und den ersteren (den zerfallenden) Flächen die Fläche mit [FORMEL] Uebergangscurven, den letzteren die Fläche ohne Uebergangscurve zurechnen.
Diese Sätze besitzen eine gewisse Analogie mit den Resultaten, welche in der analytischen Geometrie die gestaltliche Untersuchung der Curven von gegebenen p erzielt hat. Und in der That zeigt sich, dass diese Analogie eine begründete ist. Die analytische Geometrie beschäftigt sich bei jenen Untersuchungen (zunächst) nur mit solchen Gleichungen
[FORMEL]
welche reelle Coefficienten besitzen. Beachten wir zunächst, dass jede solche Gleichung über der z-Ebene in der That eine symmetrische Riemann'sche Fläche bestimmt, insofern ja die Gleichung und also auch die Fläche ungeändert bestehen bleibt, wenn man w und z gleichzeitig durch ihre conjugirten Werthe
Vergl. Harnack: Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven, in Bd. 10 der Mathematischen Annalen, p. 189 ff.; vergleiche ferner p. 415, 416 daselbst, wo ich die Eintheilung jener Curven in zweierlei Arten gegeben habe. Vielleicht ist es zweckmässig, bei diesen Untersuchungen die Lehre von den symmetrischen Flächen und die Riemann'sche Theorie, so wie beide hier im Texte dargestellt werden, geradezu als Ausgangspunct zu wählen.
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| Zitationshilfe: | Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 74. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/82>, abgerufen am 25.04.2024. |
