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Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

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§. 19 betreffs der Moduln algebraischer Gleichungen unmittelbar in Geltung. Wir haben zunächst:

Flächen lassen sich immer conform auf einander abbilden; und finden übrigens, dass die Flächen einen, die Flächen bei conformer Abbildung unzerstörbare Moduln besitzen. Jeder solche Modul ist im Allgemeinen eine complexe Constante. Dem Umstande entsprechend, dass bei symmetrischen Flächen reelle Parameter in Betracht gezogen werden müssen, wollen wir ihn in seinen reellen und seinen imaginären Bestandtheil zerlegt denken. Dann haben wir:

Sollen zwei Flächen auf einander abbildbar sein, so sind im Falle zwei, im Falle Gleichungen zwischen den reellen Constanten der Flächen zu erfüllen.

Indem wir uns jetzt zu den symmetrischen Flächen wenden, haben wir noch eine kleine Zwischenbetrachtung zu machen. Zunächst ist ersichtlich, dass zwei solche Flächen nur dann "symmetrisch'' auf einander bezogen werden können, wenn sie neben dem gleichen p dieselbe Zahl der Uebergangscurven darbieten und überdiess beide entweder der ersten oder der zweiten Art angehören. Im Uebrigen wiederhole man speciell für die symmetrischen Flächen die Abzählungen des §. 13 betreffs der Zahl der in eindeutigen Functionen enthaltenen Constanten unter der Bedingung, dass nur solche Functionen in Betracht gezogen werden, welche an symmetrischen Stellen conjugirt imaginäre Werthe aufweisen. Hiermit combinire man sodann nach dem Muster des §. 19 die Zahl solcher über der Z-Ebene construirbarer mehrblättriger Flächen, welche in Bezug auf die Axe der reellen Zahlen symmetrisch sind. Ich will dabei, um das Auftreten unendlich vieler Transformationen in sich zu vermeiden, zuvörderst annehmen, dass sei. Die Sache ist dann so einfach, dass ich sie nicht speciell durchzuführen brauche. Der Unterschied ist nur, dass die in Betracht kommenden, früher unbeschränkten Constanten nunmehr gezwungen sind, entweder einzeln reell oder paarweise conjugirt complex zu sein. In Folge dessen reduciren sich alle Willkürlichkeiten auf die Hälfte. Wir mögen folgendermassen sagen:

§. 19 betreffs der Moduln algebraischer Gleichungen unmittelbar in Geltung. Wir haben zunächst:

Flächen lassen sich immer conform auf einander abbilden; und finden übrigens, dass die Flächen einen, die Flächen bei conformer Abbildung unzerstörbare Moduln besitzen. Jeder solche Modul ist im Allgemeinen eine complexe Constante. Dem Umstande entsprechend, dass bei symmetrischen Flächen reelle Parameter in Betracht gezogen werden müssen, wollen wir ihn in seinen reellen und seinen imaginären Bestandtheil zerlegt denken. Dann haben wir:

Sollen zwei Flächen auf einander abbildbar sein, so sind im Falle zwei, im Falle Gleichungen zwischen den reellen Constanten der Flächen zu erfüllen.

Indem wir uns jetzt zu den symmetrischen Flächen wenden, haben wir noch eine kleine Zwischenbetrachtung zu machen. Zunächst ist ersichtlich, dass zwei solche Flächen nur dann "symmetrisch'' auf einander bezogen werden können, wenn sie neben dem gleichen p dieselbe Zahl der Uebergangscurven darbieten und überdiess beide entweder der ersten oder der zweiten Art angehören. Im Uebrigen wiederhole man speciell für die symmetrischen Flächen die Abzählungen des §. 13 betreffs der Zahl der in eindeutigen Functionen enthaltenen Constanten unter der Bedingung, dass nur solche Functionen in Betracht gezogen werden, welche an symmetrischen Stellen conjugirt imaginäre Werthe aufweisen. Hiermit combinire man sodann nach dem Muster des §. 19 die Zahl solcher über der Z-Ebene construirbarer mehrblättriger Flächen, welche in Bezug auf die Axe der reellen Zahlen symmetrisch sind. Ich will dabei, um das Auftreten unendlich vieler Transformationen in sich zu vermeiden, zuvörderst annehmen, dass sei. Die Sache ist dann so einfach, dass ich sie nicht speciell durchzuführen brauche. Der Unterschied ist nur, dass die in Betracht kommenden, früher unbeschränkten Constanten nunmehr gezwungen sind, entweder einzeln reell oder paarweise conjugirt complex zu sein. In Folge dessen reduciren sich alle Willkürlichkeiten auf die Hälfte. Wir mögen folgendermassen sagen:

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    <body>
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        <div>
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§. 19 betreffs der Moduln algebraischer Gleichungen unmittelbar
 in Geltung. Wir haben zunächst:</p>
          <p><hi rendition="#i">Flächen <formula notation="TeX">p = 0</formula> lassen sich immer conform auf einander
 abbilden;</hi> und finden übrigens, dass die Flächen <formula notation="TeX">p = 1</formula> <hi rendition="#i">einen</hi>, die
 Flächen <formula notation="TeX">p &gt; 1</formula> <formula notation="TeX">(3 p - 3)</formula> bei conformer Abbildung unzerstörbare
 Moduln besitzen. Jeder solche Modul ist im Allgemeinen
 eine <hi rendition="#i">complexe</hi> Constante. Dem Umstande entsprechend,
 dass bei symmetrischen Flächen reelle Parameter
 in Betracht gezogen werden müssen, wollen wir ihn in seinen
 reellen und seinen imaginären Bestandtheil zerlegt denken.
 Dann haben wir:</p>
          <p> <hi rendition="#i">Sollen zwei Flächen <formula notation="TeX">p &gt; 0</formula> auf einander abbildbar sein,
 so sind im Falle <formula notation="TeX">p = 1</formula> zwei, im Falle <formula notation="TeX">p &gt; 1</formula> <formula notation="TeX">(6p - 6)</formula>
 Gleichungen zwischen den reellen Constanten der Flächen zu
 erfüllen.</hi> </p>
          <p>Indem wir uns jetzt zu den <hi rendition="#i">symmetrischen</hi> Flächen
 wenden, haben wir noch eine kleine Zwischenbetrachtung zu
 machen. Zunächst ist ersichtlich, dass zwei solche Flächen
 nur dann "symmetrisch'' auf einander bezogen werden können,
 wenn sie neben dem gleichen <hi rendition="#i">p</hi> dieselbe Zahl <formula notation="TeX">\pi</formula> der Uebergangscurven
 darbieten und überdiess beide entweder der ersten
 oder der zweiten Art angehören. Im Uebrigen wiederhole
 man speciell für die symmetrischen Flächen die Abzählungen
 des §. 13 betreffs der Zahl der in eindeutigen Functionen
 enthaltenen Constanten unter der Bedingung, dass nur solche
 Functionen in Betracht gezogen werden, welche an symmetrischen
 Stellen conjugirt imaginäre Werthe aufweisen.
 Hiermit combinire man sodann nach dem Muster des §. 19
 die Zahl solcher über der <hi rendition="#i">Z</hi>-Ebene construirbarer mehrblättriger
 Flächen, welche in Bezug auf die Axe der reellen
 Zahlen symmetrisch sind. Ich will dabei, um das Auftreten
 unendlich vieler Transformationen in sich zu vermeiden, zuvörderst
 annehmen, dass <formula notation="TeX">p &gt; 1</formula> sei. Die Sache ist dann so
 einfach, dass ich sie nicht speciell durchzuführen brauche.
 Der Unterschied ist nur, dass die in Betracht kommenden,
 früher unbeschränkten Constanten nunmehr gezwungen sind,
 entweder <hi rendition="#i">einzeln reell</hi> oder <hi rendition="#i">paarweise conjugirt complex</hi> zu
 sein. In Folge dessen reduciren sich alle Willkürlichkeiten
 auf die Hälfte. Wir mögen folgendermassen sagen:</p>
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[77/0085] §. 19 betreffs der Moduln algebraischer Gleichungen unmittelbar in Geltung. Wir haben zunächst: Flächen [FORMEL] lassen sich immer conform auf einander abbilden; und finden übrigens, dass die Flächen [FORMEL] einen, die Flächen [FORMEL] [FORMEL] bei conformer Abbildung unzerstörbare Moduln besitzen. Jeder solche Modul ist im Allgemeinen eine complexe Constante. Dem Umstande entsprechend, dass bei symmetrischen Flächen reelle Parameter in Betracht gezogen werden müssen, wollen wir ihn in seinen reellen und seinen imaginären Bestandtheil zerlegt denken. Dann haben wir: Sollen zwei Flächen [FORMEL] auf einander abbildbar sein, so sind im Falle [FORMEL] zwei, im Falle [FORMEL] [FORMEL] Gleichungen zwischen den reellen Constanten der Flächen zu erfüllen. Indem wir uns jetzt zu den symmetrischen Flächen wenden, haben wir noch eine kleine Zwischenbetrachtung zu machen. Zunächst ist ersichtlich, dass zwei solche Flächen nur dann "symmetrisch'' auf einander bezogen werden können, wenn sie neben dem gleichen p dieselbe Zahl [FORMEL] der Uebergangscurven darbieten und überdiess beide entweder der ersten oder der zweiten Art angehören. Im Uebrigen wiederhole man speciell für die symmetrischen Flächen die Abzählungen des §. 13 betreffs der Zahl der in eindeutigen Functionen enthaltenen Constanten unter der Bedingung, dass nur solche Functionen in Betracht gezogen werden, welche an symmetrischen Stellen conjugirt imaginäre Werthe aufweisen. Hiermit combinire man sodann nach dem Muster des §. 19 die Zahl solcher über der Z-Ebene construirbarer mehrblättriger Flächen, welche in Bezug auf die Axe der reellen Zahlen symmetrisch sind. Ich will dabei, um das Auftreten unendlich vieler Transformationen in sich zu vermeiden, zuvörderst annehmen, dass [FORMEL] sei. Die Sache ist dann so einfach, dass ich sie nicht speciell durchzuführen brauche. Der Unterschied ist nur, dass die in Betracht kommenden, früher unbeschränkten Constanten nunmehr gezwungen sind, entweder einzeln reell oder paarweise conjugirt complex zu sein. In Folge dessen reduciren sich alle Willkürlichkeiten auf die Hälfte. Wir mögen folgendermassen sagen:

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 77. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/85>, abgerufen am 03.07.2022.