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Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400

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Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisen-Constructionen.
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weiten l1 und l2 abhängige Lage. Diese feste Ordinate schnei-
det daher die Linie B1 D2 in einem festen Punkte E2. Man
findet diesen Punkt E2 (Fig. 34), indem man für B1 W1
zunächst eine beliebige Lage annimmt. Dadurch ist als-
dann die Lage der beiden Linien W1 U2 und H2 U2 und
sonach auch der Schnittpunkt E2 in der Linie B1 D2 be-
stimmt. Aus dieser einfachen statischen Betrachtung ergiebt
sich sonach der Beweis für folgenden rein geometrischen Satz:

Drei gerade Linien B1 W1, W1 U2 und H2 U2 bewe-
gen sich so, daß ihre Schnittpunkte W1, H2 und U2 drei
Parallellinien beschreiben. Wenn hiebei zwei der Linien z. B.
B1 W1 und W1 U2 um zwei feste Punkte B1 und D2 sich
drehen, so dreht sich auch die dritte Linie H2 U2 um einen
festen Punkt E2. Die drei festen Punkte B1, D2 und E2
liegen in einer geraden Linie.

Da die Lage der Punkte B1 und D2 und der Kräfte
W1 und U2, da ferner das Verhältniß dieser beiden Kräfte
zu einander beliebig gewählt werden kann, wodurch die Lage
der dritten Parallellinie R nach Belieben festgelegt wird, so
ist der obige statische Beweis allgemein gültig und nicht
etwa von den dort vorkommenden Zahlenverhältnissen ab-
hängig.

Die Abscisse der Kraft Z oder des Punktes E2 ist nur
abhängig von den Abscissen der Kräfte 1/3 W1, W1 und U2,
dagegen unabhängig von den Ordinaten der Punkte B1 und
D2. Die Abscisse des Punktes E2 findet man also durch die
in der Hülfsfigur 32) angegebene Construction. Die Abscissen
der Punkte A1, G1, A2, H2, K2 in Fig. 32) stimmen überein
mit den Abscissen der Punkte B1, W1, D2, H2, U2 in Fig. 31)
und 34); daher ergiebt der Punkt N2 die Abscisse des Punk-
tes E2.

Von den drei Seiten U2 W2, W2 U3 und U3 W3
(Fig. 31) ist nunmehr Folgendes bekannt:

1) Die Seite U2 W2 geht durch den festen Punkt E2
und die Seite W2 U3 durch den festen Punkt D3.

2) Die drei Schnittpunkte der genannten drei Linien
liegen in den Ordinaten der Kräfte W2, U3 und der durch
das Verhältniß
[Formel 1] festgelegten Mittelkraft von W2 und U3. Durch diese Be-
dingungen ist der feste Punkt E3 in der Seite U3 W3 be-
stimmt. Die Abscisse des Punktes E3 ergiebt sich aus der
Hülfsfigur 32) und die Ordinate durch die Linie E2 D3 in
Fig. 31).

In derselben Weise wird der Punkt E4 in der Polygon-
seite B5 U4 festgelegt, und damit ist die Aufgabe gelöst:
denn durch B5 E4 ist der Punkt U4
" U4 D4 " " " W3
" W3 E3 " " " U3
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durch U3 D3 ist der Punkt W2
" W2 E2 " " " U2
" U2 D2 " " " W1
festgelegt.

Die Größen von U und W und damit die Größen der
Biegungsmomente über den Mittelstützen ergeben sich aus
Fig. 35), in welcher die Strahlen mit den gleich benannten
Polygonseiten (Fig. 31) parallel laufen. Die Maaßstäbe für
den Horizontalzug E·T und für die Belastungen W und
U müssen in dieser Figur natürlich dieselben sein, wie in der
Hülfsfigur, nach welcher das Seilpolygon der positiven Be-
lastungen V construirt wurde. Letztere Hülfsfigur ist hier
fortgelassen, weil sie für die übrigen Operationen nicht weiter
benutzt wurde.

In der oben beschriebenen Construction pflanzen die Zeich-
nungsfehler sich fort, und es ist daher nothwendig, eine Controle
für die Richtigkeit der Zeichnung sich zu verschaffen. Diese
Controle gewinnt man dadurch, daß man von der Endstütze
B5 nach links fortschreitend eine zweite Reihe von Fixpunkten
F3, F2, F1 in ganz derselben Weise bestimmt, wie die Punkte
E2, E3, E4 von B1 aus festgelegt wurden. Die zu diesem
Zweck ausgeführte Hülfsfigur 33) Blatt 398 wird demnach einer
weiteren Erklärung wohl nicht bedürfen. Durch die Punkte
E, F sind sonach die Polygonseiten B1 W1, U2 W2, U3 W3
und U4 B5 festgelegt und die Controle für die Richtigkeit
der Zeichnung besteht darin, daß die Punkte (Fig. 31)
W1 D2 U2
W2 D3 U3
W3 D4 U4

in geraden Linien liegen müssen.

Lage der Fixpunkte N und O (Fig. 32 und 33). gegen die
benachbarten Stützpunkte.

Eine merkwürdige Eigenschaft der Fixpunkte N und O
erkennt man, wenn man den Fall untersucht, in welchem die
sämmtlichen Stützpunkte in einer Horizontalen liegen, eine
Oeffnung in beliebiger Weise belastet ist, dagegen alle übrigen
Oeffnungen keine Belastungen tragen. In Fig. 36 (Blatt 398)
ist beispielsweise angenommen, daß nur die erste der vier
Oeffnungen belastet sei. Das Seilpolygon der Kräfte V bil-
det daher ein Dreieck B1 V1 B5 und die Punkte D2, D3 und
D4 liegen in Folge dessen in einer geraden Linie. Die Weiten
der einzelnen Oeffnungen sind dieselben, wie in Fig. 31, und
die Abscissen der Punkte F konnten demnach aus der letzteren
entnommen werden. Aus Fig. 31) geht unmittelbar hervor,
daß wenn die Punkte D4, D3, D2 in einer geraden Linie
liegen, die Punkte F3, F2, F1 in derselben geraden Linie lie-
gen müssen. Das Seilpolygon der unbekannten Kräfte U
und W nimmt daher die in Fig. 36) dargestellte einfache
Form an. Man erkennt aus dieser Form ohne Weiteres,

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Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen.
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weiten l1 und l2 abhängige Lage. Dieſe feſte Ordinate ſchnei-
det daher die Linie B1 D2 in einem feſten Punkte E2. Man
findet dieſen Punkt E2 (Fig. 34), indem man für B1 W1
zunächſt eine beliebige Lage annimmt. Dadurch iſt als-
dann die Lage der beiden Linien W1 U2 und H2 U2 und
ſonach auch der Schnittpunkt E2 in der Linie B1 D2 be-
ſtimmt. Aus dieſer einfachen ſtatiſchen Betrachtung ergiebt
ſich ſonach der Beweis für folgenden rein geometriſchen Satz:

Drei gerade Linien B1 W1, W1 U2 und H2 U2 bewe-
gen ſich ſo, daß ihre Schnittpunkte W1, H2 und U2 drei
Parallellinien beſchreiben. Wenn hiebei zwei der Linien z. B.
B1 W1 und W1 U2 um zwei feſte Punkte B1 und D2 ſich
drehen, ſo dreht ſich auch die dritte Linie H2 U2 um einen
feſten Punkt E2. Die drei feſten Punkte B1, D2 und E2
liegen in einer geraden Linie.

Da die Lage der Punkte B1 und D2 und der Kräfte
W1 und U2, da ferner das Verhältniß dieſer beiden Kräfte
zu einander beliebig gewählt werden kann, wodurch die Lage
der dritten Parallellinie R nach Belieben feſtgelegt wird, ſo
iſt der obige ſtatiſche Beweis allgemein gültig und nicht
etwa von den dort vorkommenden Zahlenverhältniſſen ab-
hängig.

Die Abſciſſe der Kraft Z oder des Punktes E2 iſt nur
abhängig von den Abſciſſen der Kräfte ⅓ W1, W1 und U2,
dagegen unabhängig von den Ordinaten der Punkte B1 und
D2. Die Abſciſſe des Punktes E2 findet man alſo durch die
in der Hülfsfigur 32) angegebene Conſtruction. Die Abſciſſen
der Punkte A1, G1, A2, H2, K2 in Fig. 32) ſtimmen überein
mit den Abſciſſen der Punkte B1, W1, D2, H2, U2 in Fig. 31)
und 34); daher ergiebt der Punkt N2 die Abſciſſe des Punk-
tes E2.

Von den drei Seiten U2 W2, W2 U3 und U3 W3
(Fig. 31) iſt nunmehr Folgendes bekannt:

1) Die Seite U2 W2 geht durch den feſten Punkt E2
und die Seite W2 U3 durch den feſten Punkt D3.

2) Die drei Schnittpunkte der genannten drei Linien
liegen in den Ordinaten der Kräfte W2, U3 und der durch
das Verhältniß
[Formel 1] feſtgelegten Mittelkraft von W2 und U3. Durch dieſe Be-
dingungen iſt der feſte Punkt E3 in der Seite U3 W3 be-
ſtimmt. Die Abſciſſe des Punktes E3 ergiebt ſich aus der
Hülfsfigur 32) und die Ordinate durch die Linie E2 D3 in
Fig. 31).

In derſelben Weiſe wird der Punkt E4 in der Polygon-
ſeite B5 U4 feſtgelegt, und damit iſt die Aufgabe gelöſt:
denn durch B5 E4 iſt der Punkt U4
U4 D4 „ „ „ W3
W3 E3 „ „ „ U3
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durch U3 D3 iſt der Punkt W2
W2 E2 „ „ „ U2
U2 D2 „ „ „ W1
feſtgelegt.

Die Größen von U und W und damit die Größen der
Biegungsmomente über den Mittelſtützen ergeben ſich aus
Fig. 35), in welcher die Strahlen mit den gleich benannten
Polygonſeiten (Fig. 31) parallel laufen. Die Maaßſtäbe für
den Horizontalzug E·T und für die Belaſtungen W und
U müſſen in dieſer Figur natürlich dieſelben ſein, wie in der
Hülfsfigur, nach welcher das Seilpolygon der poſitiven Be-
laſtungen V conſtruirt wurde. Letztere Hülfsfigur iſt hier
fortgelaſſen, weil ſie für die übrigen Operationen nicht weiter
benutzt wurde.

In der oben beſchriebenen Conſtruction pflanzen die Zeich-
nungsfehler ſich fort, und es iſt daher nothwendig, eine Controle
für die Richtigkeit der Zeichnung ſich zu verſchaffen. Dieſe
Controle gewinnt man dadurch, daß man von der Endſtütze
B5 nach links fortſchreitend eine zweite Reihe von Fixpunkten
F3, F2, F1 in ganz derſelben Weiſe beſtimmt, wie die Punkte
E2, E3, E4 von B1 aus feſtgelegt wurden. Die zu dieſem
Zweck ausgeführte Hülfsfigur 33) Blatt 398 wird demnach einer
weiteren Erklärung wohl nicht bedürfen. Durch die Punkte
E, F ſind ſonach die Polygonſeiten B1 W1, U2 W2, U3 W3
und U4 B5 feſtgelegt und die Controle für die Richtigkeit
der Zeichnung beſteht darin, daß die Punkte (Fig. 31)
W1 D2 U2
W2 D3 U3
W3 D4 U4

in geraden Linien liegen müſſen.

Lage der Fixpunkte N und O (Fig. 32 und 33). gegen die
benachbarten Stützpunkte.

Eine merkwürdige Eigenſchaft der Fixpunkte N und O
erkennt man, wenn man den Fall unterſucht, in welchem die
ſämmtlichen Stützpunkte in einer Horizontalen liegen, eine
Oeffnung in beliebiger Weiſe belaſtet iſt, dagegen alle übrigen
Oeffnungen keine Belaſtungen tragen. In Fig. 36 (Blatt 398)
iſt beiſpielsweiſe angenommen, daß nur die erſte der vier
Oeffnungen belaſtet ſei. Das Seilpolygon der Kräfte V bil-
det daher ein Dreieck B1 V1 B5 und die Punkte D2, D3 und
D4 liegen in Folge deſſen in einer geraden Linie. Die Weiten
der einzelnen Oeffnungen ſind dieſelben, wie in Fig. 31, und
die Abſciſſen der Punkte F konnten demnach aus der letzteren
entnommen werden. Aus Fig. 31) geht unmittelbar hervor,
daß wenn die Punkte D4, D3, D2 in einer geraden Linie
liegen, die Punkte F3, F2, F1 in derſelben geraden Linie lie-
gen müſſen. Das Seilpolygon der unbekannten Kräfte U
und W nimmt daher die in Fig. 36) dargeſtellte einfache
Form an. Man erkennt aus dieſer Form ohne Weiteres,

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[[8]/0019] Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen. weiten l1 und l2 abhängige Lage. Dieſe feſte Ordinate ſchnei- det daher die Linie B1 D2 in einem feſten Punkte E2. Man findet dieſen Punkt E2 (Fig. 34), indem man für B1 W1 zunächſt eine beliebige Lage annimmt. Dadurch iſt als- dann die Lage der beiden Linien W1 U2 und H2 U2 und ſonach auch der Schnittpunkt E2 in der Linie B1 D2 be- ſtimmt. Aus dieſer einfachen ſtatiſchen Betrachtung ergiebt ſich ſonach der Beweis für folgenden rein geometriſchen Satz: Drei gerade Linien B1 W1, W1 U2 und H2 U2 bewe- gen ſich ſo, daß ihre Schnittpunkte W1, H2 und U2 drei Parallellinien beſchreiben. Wenn hiebei zwei der Linien z. B. B1 W1 und W1 U2 um zwei feſte Punkte B1 und D2 ſich drehen, ſo dreht ſich auch die dritte Linie H2 U2 um einen feſten Punkt E2. Die drei feſten Punkte B1, D2 und E2 liegen in einer geraden Linie. Da die Lage der Punkte B1 und D2 und der Kräfte W1 und U2, da ferner das Verhältniß dieſer beiden Kräfte zu einander beliebig gewählt werden kann, wodurch die Lage der dritten Parallellinie R nach Belieben feſtgelegt wird, ſo iſt der obige ſtatiſche Beweis allgemein gültig und nicht etwa von den dort vorkommenden Zahlenverhältniſſen ab- hängig. Die Abſciſſe der Kraft Z oder des Punktes E2 iſt nur abhängig von den Abſciſſen der Kräfte ⅓ W1, W1 und U2, dagegen unabhängig von den Ordinaten der Punkte B1 und D2. Die Abſciſſe des Punktes E2 findet man alſo durch die in der Hülfsfigur 32) angegebene Conſtruction. Die Abſciſſen der Punkte A1, G1, A2, H2, K2 in Fig. 32) ſtimmen überein mit den Abſciſſen der Punkte B1, W1, D2, H2, U2 in Fig. 31) und 34); daher ergiebt der Punkt N2 die Abſciſſe des Punk- tes E2. Von den drei Seiten U2 W2, W2 U3 und U3 W3 (Fig. 31) iſt nunmehr Folgendes bekannt: 1) Die Seite U2 W2 geht durch den feſten Punkt E2 und die Seite W2 U3 durch den feſten Punkt D3. 2) Die drei Schnittpunkte der genannten drei Linien liegen in den Ordinaten der Kräfte W2, U3 und der durch das Verhältniß [FORMEL] feſtgelegten Mittelkraft von W2 und U3. Durch dieſe Be- dingungen iſt der feſte Punkt E3 in der Seite U3 W3 be- ſtimmt. Die Abſciſſe des Punktes E3 ergiebt ſich aus der Hülfsfigur 32) und die Ordinate durch die Linie E2 D3 in Fig. 31). In derſelben Weiſe wird der Punkt E4 in der Polygon- ſeite B5 U4 feſtgelegt, und damit iſt die Aufgabe gelöſt: denn durch B5 E4 iſt der Punkt U4 „ U4 D4 „ „ „ W3 „ W3 E3 „ „ „ U3 durch U3 D3 iſt der Punkt W2 „ W2 E2 „ „ „ U2 „ U2 D2 „ „ „ W1 feſtgelegt. Die Größen von U und W und damit die Größen der Biegungsmomente über den Mittelſtützen ergeben ſich aus Fig. 35), in welcher die Strahlen mit den gleich benannten Polygonſeiten (Fig. 31) parallel laufen. Die Maaßſtäbe für den Horizontalzug E·T und für die Belaſtungen W und U müſſen in dieſer Figur natürlich dieſelben ſein, wie in der Hülfsfigur, nach welcher das Seilpolygon der poſitiven Be- laſtungen V conſtruirt wurde. Letztere Hülfsfigur iſt hier fortgelaſſen, weil ſie für die übrigen Operationen nicht weiter benutzt wurde. In der oben beſchriebenen Conſtruction pflanzen die Zeich- nungsfehler ſich fort, und es iſt daher nothwendig, eine Controle für die Richtigkeit der Zeichnung ſich zu verſchaffen. Dieſe Controle gewinnt man dadurch, daß man von der Endſtütze B5 nach links fortſchreitend eine zweite Reihe von Fixpunkten F3, F2, F1 in ganz derſelben Weiſe beſtimmt, wie die Punkte E2, E3, E4 von B1 aus feſtgelegt wurden. Die zu dieſem Zweck ausgeführte Hülfsfigur 33) Blatt 398 wird demnach einer weiteren Erklärung wohl nicht bedürfen. Durch die Punkte E, F ſind ſonach die Polygonſeiten B1 W1, U2 W2, U3 W3 und U4 B5 feſtgelegt und die Controle für die Richtigkeit der Zeichnung beſteht darin, daß die Punkte (Fig. 31) W1 D2 U2 W2 D3 U3 W3 D4 U4 in geraden Linien liegen müſſen. Lage der Fixpunkte N und O (Fig. 32 und 33). gegen die benachbarten Stützpunkte. Eine merkwürdige Eigenſchaft der Fixpunkte N und O erkennt man, wenn man den Fall unterſucht, in welchem die ſämmtlichen Stützpunkte in einer Horizontalen liegen, eine Oeffnung in beliebiger Weiſe belaſtet iſt, dagegen alle übrigen Oeffnungen keine Belaſtungen tragen. In Fig. 36 (Blatt 398) iſt beiſpielsweiſe angenommen, daß nur die erſte der vier Oeffnungen belaſtet ſei. Das Seilpolygon der Kräfte V bil- det daher ein Dreieck B1 V1 B5 und die Punkte D2, D3 und D4 liegen in Folge deſſen in einer geraden Linie. Die Weiten der einzelnen Oeffnungen ſind dieſelben, wie in Fig. 31, und die Abſciſſen der Punkte F konnten demnach aus der letzteren entnommen werden. Aus Fig. 31) geht unmittelbar hervor, daß wenn die Punkte D4, D3, D2 in einer geraden Linie liegen, die Punkte F3, F2, F1 in derſelben geraden Linie lie- gen müſſen. Das Seilpolygon der unbekannten Kräfte U und W nimmt daher die in Fig. 36) dargeſtellte einfache Form an. Man erkennt aus dieſer Form ohne Weiteres, 3

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Zitationshilfe: Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400, S. [8]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mohr_eisenkonstruktionen_1868/19>, abgerufen am 16.08.2022.