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Riemann, Bernhard: Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. In: Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13 (1868), S. 133-150.

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Uebersicht.

Plan der Untersuchung S. 133
I. Begriff einer nfach ausgedehnten Grösse 1) " 134
§. 1. Stetige und discrete Mannigfaltigkeiten. Bestimmte Theile einer Mannig-
faltigkeit heissen Quanta. Eintheilung der Lehre von den stetigen Grössen
in die Lehre
1) von den blossen Gebietsverhältnissen, bei welcher eine Unabhängigkeit
der Grössen vom Ort nicht vorausgesetzt wird,
2) von den Massverhältnissen, bei welcher eine solche Unabhängigkeit
vorausgesetzt werden muss " 135
§. 2. Erzeugung des Begriffs einer einfach, zweifach, ..., nfach ausgedehnten
Mannigfaltigkeit " 136
§. 3. Zurückführung der Ortsbestimmung in einer gegebenen Mannigfaltigkeit
auf Quantitätsbestimmungen. Wesentliches Kennzeichen einer nfach ausge-
dehnten Mannigfaltigkeit " 137
II. Massverhältnisse, deren eine Mannigfaltigkeit von n Dimensionen fähig ist 2),
unter der Voraussetzung, dass die Linien unabhängig von der Lage eine Länge
besitzen, also jede Linie durch jede messbar ist " 138
§. 1. Ausdruck des Linienelements. Als eben werden solche Mannigfaltigkeiten
betrachtet, in denen das Linienelement durch die Wurzel aus einer Quadrat-
summe vollständiger Differentialien ausdrückbar ist " 138
§. 2. Untersuchung der nfach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten, in welchen das
Linienelement durch die Quadratwurzel aus einem Differentialausdruck zwei-
ten Grades dargestellt werden kann. Mass ihrer Abweichung von der
Ebenheit (Krümmungsmass) in einem gegebenen Punkte und einer gegebenen
Flächenrichtung. Zur Bestimmung ihrer Massverhältnisse ist es (unter ge-
wissen Beschränkungen) zulässig und hinreichend, dass das Krümmungsmass in
jedem Punkte in n [Formel 1] Flächenrichtungen beliebig gegeben wird " 141
1) Art. I. bildet zugleich die Vorarbeit für Beiträge zur analysis situs.
2) Die Untersuchung über die möglichen Massbestimmungen einer nfach ausgedehnten
Mannigfaltigkeit ist sehr unvollständig, indess für den gegenwärtigen Zweck wohl ausreichend.
Uebersicht.

Plan der Untersuchung S. 133
I. Begriff einer nfach ausgedehnten Grösse 1) „ 134
§. 1. Stetige und discrete Mannigfaltigkeiten. Bestimmte Theile einer Mannig-
faltigkeit heissen Quanta. Eintheilung der Lehre von den stetigen Grössen
in die Lehre
1) von den blossen Gebietsverhältnissen, bei welcher eine Unabhängigkeit
der Grössen vom Ort nicht vorausgesetzt wird,
2) von den Massverhältnissen, bei welcher eine solche Unabhängigkeit
vorausgesetzt werden muss „ 135
§. 2. Erzeugung des Begriffs einer einfach, zweifach, …, nfach ausgedehnten
Mannigfaltigkeit „ 136
§. 3. Zurückführung der Ortsbestimmung in einer gegebenen Mannigfaltigkeit
auf Quantitätsbestimmungen. Wesentliches Kennzeichen einer nfach ausge-
dehnten Mannigfaltigkeit „ 137
II. Massverhältnisse, deren eine Mannigfaltigkeit von n Dimensionen fähig ist 2),
unter der Voraussetzung, dass die Linien unabhängig von der Lage eine Länge
besitzen, also jede Linie durch jede messbar ist „ 138
§. 1. Ausdruck des Linienelements. Als eben werden solche Mannigfaltigkeiten
betrachtet, in denen das Linienelement durch die Wurzel aus einer Quadrat-
summe vollständiger Differentialien ausdrückbar ist „ 138
§. 2. Untersuchung der nfach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten, in welchen das
Linienelement durch die Quadratwurzel aus einem Differentialausdruck zwei-
ten Grades dargestellt werden kann. Mass ihrer Abweichung von der
Ebenheit (Krümmungsmass) in einem gegebenen Punkte und einer gegebenen
Flächenrichtung. Zur Bestimmung ihrer Massverhältnisse ist es (unter ge-
wissen Beschränkungen) zulässig und hinreichend, dass das Krümmungsmass in
jedem Punkte in n [Formel 1] Flächenrichtungen beliebig gegeben wird „ 141
1) Art. I. bildet zugleich die Vorarbeit für Beiträge zur analysis situs.
2) Die Untersuchung über die möglichen Massbestimmungen einer nfach ausgedehnten
Mannigfaltigkeit ist sehr unvollständig, indess für den gegenwärtigen Zweck wohl ausreichend.
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[[151]/0026] Uebersicht. Plan der Untersuchung S. 133 I. Begriff einer nfach ausgedehnten Grösse 1) „ 134 §. 1. Stetige und discrete Mannigfaltigkeiten. Bestimmte Theile einer Mannig- faltigkeit heissen Quanta. Eintheilung der Lehre von den stetigen Grössen in die Lehre 1) von den blossen Gebietsverhältnissen, bei welcher eine Unabhängigkeit der Grössen vom Ort nicht vorausgesetzt wird, 2) von den Massverhältnissen, bei welcher eine solche Unabhängigkeit vorausgesetzt werden muss „ 135 §. 2. Erzeugung des Begriffs einer einfach, zweifach, …, nfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit „ 136 §. 3. Zurückführung der Ortsbestimmung in einer gegebenen Mannigfaltigkeit auf Quantitätsbestimmungen. Wesentliches Kennzeichen einer nfach ausge- dehnten Mannigfaltigkeit „ 137 II. Massverhältnisse, deren eine Mannigfaltigkeit von n Dimensionen fähig ist 2), unter der Voraussetzung, dass die Linien unabhängig von der Lage eine Länge besitzen, also jede Linie durch jede messbar ist „ 138 §. 1. Ausdruck des Linienelements. Als eben werden solche Mannigfaltigkeiten betrachtet, in denen das Linienelement durch die Wurzel aus einer Quadrat- summe vollständiger Differentialien ausdrückbar ist „ 138 §. 2. Untersuchung der nfach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten, in welchen das Linienelement durch die Quadratwurzel aus einem Differentialausdruck zwei- ten Grades dargestellt werden kann. Mass ihrer Abweichung von der Ebenheit (Krümmungsmass) in einem gegebenen Punkte und einer gegebenen Flächenrichtung. Zur Bestimmung ihrer Massverhältnisse ist es (unter ge- wissen Beschränkungen) zulässig und hinreichend, dass das Krümmungsmass in jedem Punkte in n [FORMEL] Flächenrichtungen beliebig gegeben wird „ 141 1) Art. I. bildet zugleich die Vorarbeit für Beiträge zur analysis situs. 2) Die Untersuchung über die möglichen Massbestimmungen einer nfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit ist sehr unvollständig, indess für den gegenwärtigen Zweck wohl ausreichend.

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Zitationshilfe: Riemann, Bernhard: Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. In: Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13 (1868), S. 133-150, hier S. [151]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/riemann_hypothesen_1867/26>, abgerufen am 14.08.2022.