Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Bild:
<< vorherige Seite
§ 7. Deutung von a b, a + b als Gebiete.

Vermögen wir nun dieses, so stimmt für die Anschauung die
Probe des Teils (3)' sowol als die Probe des Teils (3)'' der Defi-
nition (3):

Zu Fig. 9x, Wenn irgend ein
Gebiet c zugleich in a und b ent-
halten ist, so ist es auch in dem
angeblichen Gebiet a b enthalten.
Desgl. umgekehrt: Wenn ein c in
dem fraglichen a b enthalten ist, so
ist es auch zugleich in a und in b
enthalten.
Zu Fig. 9+. Wenn a und zu-
gleich b ganz in einem Gebiete c
enthalten sind, so ist auch das an-
gebliche Gebiet a + b in diesem c
enthalten. Und umgekehrt, wenn
das problematische a + b in einem
Gebiete c enthalten ist, so ist
auch sowol a als b in diesem c ent-
halten.

Vergl. auch Prinzip II und das hier unmittelbar evidente Theo-
rem 6).

Zu Fig. 10x, wo a und b keinen Punkt gemein haben, ist noch
zu bemerken: Ausser dem Nullgebiete ist kein Gebiet c denkbar,
welches zugleich in a und in b enthalten wäre; dies Gebiet 0 ist aber
auch in a b (welches = 0 behauptet ist) enthalten -- cf. I sowie
Def. (2x), nach welchen beiden ja 0 0 gilt. Wenn umgekehrt ein c
in dem a b, welches 0 ist, enthalten sein soll, so muss es nach Th. 5x)
selbst 0 sein, und ist dasselbe nach Def. (2x) dann auch in a sowie
in b enthalten.

Man sieht: der Satz der Arithmetik, wonach ein Produkt nicht anders
gleich 0 sein, verschwinden kann, als indem einer seiner Faktoren selbst 0
ist -- ein Satz, der dort übrigens auch für Produkte von unbegrenzter
Faktorenzahl schon nicht mehr gilt -- dieser Satz trifft im identischen
Kalkul überhaupt nicht zu. Hier kann vielmehr leicht a · b verschwinden,
ohne dass a oder b selbst gleich 0 wäre, verschwände. Es ist dies aber
auch ein Satz, der wesentlich nicht auf die Multiplikation, sondern auf die
Division sich bezieht, indem bei ihm der Produktwert (= 0) als gegeben
erscheint. Der Satz kommt in der That auf die Gleichung [Formel 1] = 0 (für a
ungleich 0) hinaus, und dass die auf Division bezüglichen Sätze der Arith-
metik sich zumeist nicht auf den identischen Kalkul übertragen, wurde
bereits hervorgehoben.

In gleicher Weise stimmt die Probe für jede andere der in § 6
abgeleiteten Formen der Def. (3).

Die angegebenen Gebiete genügen also der Def. (3) wirklich und
nach Vorangegangenem [cf. Th. 11) Zusatz] auch einzig. Zum Über-
fluss vermöchte man bei jedem andern als a b resp. a + b vermuteten
Gebiete leicht solche x nachzuweisen, für welche die Forderungen der

§ 7. Deutung von a b, a + b als Gebiete.

Vermögen wir nun dieses, so stimmt für die Anschauung die
Probe des Teils (3)' sowol als die Probe des Teils (3)'' der Defi-
nition (3):

Zu Fig. 9×, Wenn irgend ein
Gebiet c zugleich in a und b ent-
halten ist, so ist es auch in dem
angeblichen Gebiet a b enthalten.
Desgl. umgekehrt: Wenn ein c in
dem fraglichen a b enthalten ist, so
ist es auch zugleich in a und in b
enthalten.
Zu Fig. 9+. Wenn a und zu-
gleich b ganz in einem Gebiete c
enthalten sind, so ist auch das an-
gebliche Gebiet a + b in diesem c
enthalten. Und umgekehrt, wenn
das problematische a + b in einem
Gebiete c enthalten ist, so ist
auch sowol a als b in diesem c ent-
halten.

Vergl. auch Prinzip II und das hier unmittelbar evidente Theo-
rem 6).

Zu Fig. 10×, wo a und b keinen Punkt gemein haben, ist noch
zu bemerken: Ausser dem Nullgebiete ist kein Gebiet c denkbar,
welches zugleich in a und in b enthalten wäre; dies Gebiet 0 ist aber
auch in a b (welches = 0 behauptet ist) enthalten — cf. I sowie
Def. (2×), nach welchen beiden ja 0 ⋹ 0 gilt. Wenn umgekehrt ein c
in dem a b, welches 0 ist, enthalten sein soll, so muss es nach Th. 5×)
selbst 0 sein, und ist dasselbe nach Def. (2×) dann auch in a sowie
in b enthalten.

Man sieht: der Satz der Arithmetik, wonach ein Produkt nicht anders
gleich 0 sein, verschwinden kann, als indem einer seiner Faktoren selbst 0
ist — ein Satz, der dort übrigens auch für Produkte von unbegrenzter
Faktorenzahl schon nicht mehr gilt — dieser Satz trifft im identischen
Kalkul überhaupt nicht zu. Hier kann vielmehr leicht a · b verschwinden,
ohne dass a oder b selbst gleich 0 wäre, verschwände. Es ist dies aber
auch ein Satz, der wesentlich nicht auf die Multiplikation, sondern auf die
Division sich bezieht, indem bei ihm der Produktwert (= 0) als gegeben
erscheint. Der Satz kommt in der That auf die Gleichung [Formel 1] = 0 (für a
ungleich 0) hinaus, und dass die auf Division bezüglichen Sätze der Arith-
metik sich zumeist nicht auf den identischen Kalkul übertragen, wurde
bereits hervorgehoben.

In gleicher Weise stimmt die Probe für jede andere der in § 6
abgeleiteten Formen der Def. (3).

Die angegebenen Gebiete genügen also der Def. (3) wirklich und
nach Vorangegangenem [cf. Th. 11) Zusatz] auch einzig. Zum Über-
fluss vermöchte man bei jedem andern als a b resp. a + b vermuteten
Gebiete leicht solche x nachzuweisen, für welche die Forderungen der

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <pb facs="#f0235" n="215"/>
          <fw place="top" type="header">§ 7. Deutung von <hi rendition="#i">a b</hi>, <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> als Gebiete.</fw><lb/>
          <p>Vermögen wir nun dieses, so stimmt für die Anschauung die<lb/>
Probe des Teils (3)' sowol als die Probe des Teils (3)'' der Defi-<lb/>
nition (3):<lb/><table><row><cell><hi rendition="#g">Zu Fig.</hi> 9<hi rendition="#sub">×</hi>, Wenn irgend ein<lb/>
Gebiet <hi rendition="#i">c</hi> zugleich in <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">b</hi> ent-<lb/>
halten ist, so ist es auch in dem<lb/>
angeblichen Gebiet <hi rendition="#i">a b</hi> enthalten.<lb/>
Desgl. umgekehrt: Wenn ein <hi rendition="#i">c</hi> in<lb/>
dem fraglichen <hi rendition="#i">a b</hi> enthalten ist, so<lb/>
ist es auch zugleich in <hi rendition="#i">a</hi> und in <hi rendition="#i">b</hi><lb/>
enthalten.</cell><cell><hi rendition="#g">Zu Fig.</hi> 9<hi rendition="#sub">+</hi>. Wenn <hi rendition="#i">a</hi> und zu-<lb/>
gleich <hi rendition="#i">b</hi> ganz in einem Gebiete <hi rendition="#i">c</hi><lb/>
enthalten sind, so ist auch das an-<lb/>
gebliche Gebiet <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> in diesem <hi rendition="#i">c</hi><lb/>
enthalten. Und umgekehrt, wenn<lb/>
das problematische <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> in einem<lb/>
Gebiete <hi rendition="#i">c</hi> enthalten ist, so ist<lb/>
auch sowol <hi rendition="#i">a</hi> als <hi rendition="#i">b</hi> in diesem <hi rendition="#i">c</hi> ent-<lb/>
halten.</cell></row><lb/></table></p>
          <p>Vergl. auch Prinzip II und das hier unmittelbar evidente Theo-<lb/>
rem 6).</p><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Zu Fig.</hi> 10<hi rendition="#sub">×</hi>, wo <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">b</hi> keinen Punkt gemein haben, ist noch<lb/>
zu bemerken: Ausser dem Nullgebiete ist kein Gebiet <hi rendition="#i">c</hi> denkbar,<lb/>
welches zugleich in <hi rendition="#i">a</hi> und in <hi rendition="#i">b</hi> enthalten wäre; dies Gebiet 0 ist aber<lb/>
auch in <hi rendition="#i">a b</hi> (welches = 0 behauptet ist) enthalten &#x2014; cf. I sowie<lb/>
Def. (2<hi rendition="#sub">×</hi>), nach welchen beiden ja 0 &#x22F9; 0 gilt. Wenn umgekehrt ein <hi rendition="#i">c</hi><lb/>
in dem <hi rendition="#i">a b</hi>, welches 0 ist, enthalten sein soll, so muss es nach Th. 5<hi rendition="#sub">×</hi>)<lb/>
selbst 0 sein, und ist dasselbe nach Def. (2<hi rendition="#sub">×</hi>) dann auch in <hi rendition="#i">a</hi> sowie<lb/>
in <hi rendition="#i">b</hi> enthalten.</p><lb/>
          <p>Man sieht: der Satz der Arithmetik, wonach ein Produkt nicht anders<lb/>
gleich 0 sein, verschwinden kann, als indem einer seiner Faktoren selbst 0<lb/>
ist &#x2014; ein Satz, der dort übrigens auch für Produkte von unbegrenzter<lb/>
Faktorenzahl schon nicht mehr gilt &#x2014; dieser Satz trifft im identischen<lb/>
Kalkul überhaupt nicht zu. Hier kann vielmehr leicht <hi rendition="#i">a</hi> · <hi rendition="#i">b</hi> verschwinden,<lb/>
ohne dass <hi rendition="#i">a</hi> oder <hi rendition="#i">b</hi> selbst gleich 0 wäre, verschwände. Es ist dies aber<lb/>
auch ein Satz, der wesentlich nicht auf die Multiplikation, sondern auf die<lb/>
Division sich bezieht, indem bei ihm der Produktwert (= 0) als <hi rendition="#i">gegeben</hi><lb/>
erscheint. Der Satz kommt in der That auf die Gleichung <formula/> = 0 (für <hi rendition="#i">a</hi><lb/>
ungleich 0) hinaus, und dass die auf <hi rendition="#i">Division</hi> bezüglichen Sätze der Arith-<lb/>
metik sich zumeist <hi rendition="#i">nicht</hi> auf den identischen Kalkul übertragen, wurde<lb/>
bereits hervorgehoben.</p><lb/>
          <p>In gleicher Weise stimmt die Probe für jede andere der in § 6<lb/>
abgeleiteten Formen der Def. (3).</p><lb/>
          <p>Die angegebenen Gebiete genügen also der Def. (3) <hi rendition="#i">wirklich</hi> und<lb/>
nach Vorangegangenem [cf. Th. 11) Zusatz] auch <hi rendition="#i">einzig</hi>. Zum Über-<lb/>
fluss vermöchte man bei jedem andern als <hi rendition="#i">a b</hi> resp. <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> vermuteten<lb/>
Gebiete leicht solche <hi rendition="#i">x</hi> nachzuweisen, für welche die Forderungen der<lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[215/0235] § 7. Deutung von a b, a + b als Gebiete. Vermögen wir nun dieses, so stimmt für die Anschauung die Probe des Teils (3)' sowol als die Probe des Teils (3)'' der Defi- nition (3): Zu Fig. 9×, Wenn irgend ein Gebiet c zugleich in a und b ent- halten ist, so ist es auch in dem angeblichen Gebiet a b enthalten. Desgl. umgekehrt: Wenn ein c in dem fraglichen a b enthalten ist, so ist es auch zugleich in a und in b enthalten. Zu Fig. 9+. Wenn a und zu- gleich b ganz in einem Gebiete c enthalten sind, so ist auch das an- gebliche Gebiet a + b in diesem c enthalten. Und umgekehrt, wenn das problematische a + b in einem Gebiete c enthalten ist, so ist auch sowol a als b in diesem c ent- halten. Vergl. auch Prinzip II und das hier unmittelbar evidente Theo- rem 6). Zu Fig. 10×, wo a und b keinen Punkt gemein haben, ist noch zu bemerken: Ausser dem Nullgebiete ist kein Gebiet c denkbar, welches zugleich in a und in b enthalten wäre; dies Gebiet 0 ist aber auch in a b (welches = 0 behauptet ist) enthalten — cf. I sowie Def. (2×), nach welchen beiden ja 0 ⋹ 0 gilt. Wenn umgekehrt ein c in dem a b, welches 0 ist, enthalten sein soll, so muss es nach Th. 5×) selbst 0 sein, und ist dasselbe nach Def. (2×) dann auch in a sowie in b enthalten. Man sieht: der Satz der Arithmetik, wonach ein Produkt nicht anders gleich 0 sein, verschwinden kann, als indem einer seiner Faktoren selbst 0 ist — ein Satz, der dort übrigens auch für Produkte von unbegrenzter Faktorenzahl schon nicht mehr gilt — dieser Satz trifft im identischen Kalkul überhaupt nicht zu. Hier kann vielmehr leicht a · b verschwinden, ohne dass a oder b selbst gleich 0 wäre, verschwände. Es ist dies aber auch ein Satz, der wesentlich nicht auf die Multiplikation, sondern auf die Division sich bezieht, indem bei ihm der Produktwert (= 0) als gegeben erscheint. Der Satz kommt in der That auf die Gleichung [FORMEL] = 0 (für a ungleich 0) hinaus, und dass die auf Division bezüglichen Sätze der Arith- metik sich zumeist nicht auf den identischen Kalkul übertragen, wurde bereits hervorgehoben. In gleicher Weise stimmt die Probe für jede andere der in § 6 abgeleiteten Formen der Def. (3). Die angegebenen Gebiete genügen also der Def. (3) wirklich und nach Vorangegangenem [cf. Th. 11) Zusatz] auch einzig. Zum Über- fluss vermöchte man bei jedem andern als a b resp. a + b vermuteten Gebiete leicht solche x nachzuweisen, für welche die Forderungen der

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/235
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 215. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/235>, abgerufen am 29.03.2024.