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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.

gabe, einen Ausdruck auf seine einfachstmögliche Form zu bringen,
eine unfehlbar zum Ziel führende einheitliche Vorschrift nicht bekannt
ist, und eine solche sich auch schwerlich aufstellen liesse: vielmehr
wird dabei immer Einiges der Willkür und dem analytischen Geschick
des Rechners anheimgestellt bleiben.

Miss Ladd und Mr. McColl empfehlen zu dem genannten Zweck
das doppelte Negiren des -- wie wir unbeschadet der Allgemeinheit an-
nehmen können, schon als ein Aggregat von Monomen -- gegebenen Aus-
drucks, wobei die erste Negation desselben durch Ausmultipliziren, unter
Fortlassung verschwindender oder eingehender Terme, erst wieder in Ag-
greganten zu entwickeln ist, bevor man abermals negirt. Vergl. auch § 27.

Exempel zu dieser Methode von McColl. Gegeben:
x = a + b c + a1 b1 d + a1 c1 d, also x1 = a1 (b1 + c1) (a + b + d1) (a + c + d1),
wo zunächst die beiden Terme a als unverträglich mit dem Faktor a1 fort-
zulassen sind. Wir erhalten sonach
x1 = a1 (b1 + c1) (b c + d1) = a1 (b1 + c1) d1, und folglich: x = a + b c + d
als den auf seine einfachste Form gebrachten Ausdruck.

Anderes Exempel McColl's. Gegeben:
x = a b1 c1 + a b d + a1 b1 d1 + a b d1 + a1 b1 d,
also

x1 = (a1 + b + c) (a1 + b1 + d1) (a1 + b1 + d) (a + b + d) (a + b + d1) =
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darnach
x = (a + b1) (a1 + b + c1) = a b + a c1 + a1 b1 + b1 c1.
Von diesen vier Gliedern darf nun aber noch das zweite oder aber vierte
unterdrückt werden, sodass
x = a b + a c1 + a1 b1 = a b + a1 b1 + b1 c1
sich deckt mit dem oben beispielsweise angeführten zweierlei einfachste
Darstellungen zulassenden Ausdrucke -- vergl. § 18, b1).

Als ein bequemeres Verfahren scheint mir indess die Anwendung von
Th. 30+) und 33+) Zusatz den Vorzug zu verdienen, wonach man sogleich
schliessen kann:
x = a {b1 c1 + b (d + d1)} + a1 b1 (d1 + d) = a (b1 c1 + b) + a1 b1,
d. h. einerseits
= a (c1 + b) + a1 b1, andrerseits = a b + (a c1 + a1) b1 = a b + (c1 + a1) b1.

Beim vorigen Exempel wäre zunächst der Faktor a1 zu unterdrücken
gewesen, hernach in x = a + b c + (b1 + c1) d der Faktor b1 + c1 als die
Negation von b c vorstellend.

Schröder, Algebra der Logik. 28

§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.

Miss Ladd und Mr. McColl empfehlen zu dem genannten Zweck
das doppelte Negiren des — wie wir unbeschadet der Allgemeinheit an-
nehmen können, schon als ein Aggregat von Monomen — gegebenen Aus-
drucks, wobei die erste Negation desselben durch Ausmultipliziren, unter
Fortlassung verschwindender oder eingehender Terme, erst wieder in Ag-
greganten zu entwickeln ist, bevor man abermals negirt. Vergl. auch § 27.

Anderes Exempel McColl's. Gegeben:
x = a b1 c1 + a b d + a1 b1 d1 + a b d1 + a1 b1 d,
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Beim vorigen Exempel wäre zunächst der Faktor a1 zu unterdrücken
gewesen, hernach in x = a + b c + (b1 + c1) d der Faktor b1 + c1 als die
Negation von b c vorstellend.

Schröder, Algebra der Logik. 28

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[433/0453] § 19. Funktionen und deren Entwickelung. gabe, einen Ausdruck auf seine einfachstmögliche Form zu bringen, eine unfehlbar zum Ziel führende einheitliche Vorschrift nicht bekannt ist, und eine solche sich auch schwerlich aufstellen liesse: vielmehr wird dabei immer Einiges der Willkür und dem analytischen Geschick des Rechners anheimgestellt bleiben. Miss Ladd und Mr. McColl empfehlen zu dem genannten Zweck das doppelte Negiren des — wie wir unbeschadet der Allgemeinheit an- nehmen können, schon als ein Aggregat von Monomen — gegebenen Aus- drucks, wobei die erste Negation desselben durch Ausmultipliziren, unter Fortlassung verschwindender oder eingehender Terme, erst wieder in Ag- greganten zu entwickeln ist, bevor man abermals negirt. Vergl. auch § 27. Exempel zu dieser Methode von McColl. Gegeben: x = a + b c + a1 b1 d + a1 c1 d, also x1 = a1 (b1 + c1) (a + b + d1) (a + c + d1), wo zunächst die beiden Terme a als unverträglich mit dem Faktor a1 fort- zulassen sind. Wir erhalten sonach x1 = a1 (b1 + c1) (b c + d1) = a1 (b1 + c1) d1, und folglich: x = a + b c + d als den auf seine einfachste Form gebrachten Ausdruck. Anderes Exempel McColl's. Gegeben: x = a b1 c1 + a b d + a1 b1 d1 + a b d1 + a1 b1 d, also x1 = (a1 + b + c) (a1 + b1 + d1) (a1 + b1 + d) (a + b + d) (a + b + d1) = = {a1 + (b + c) (b1 + d1) (b1 + d)} (a + b) = (a1 + b1 c) (a + b) = a1 b + a b1 c, darnach x = (a + b1) (a1 + b + c1) = a b + a c1 + a1 b1 + b1 c1. Von diesen vier Gliedern darf nun aber noch das zweite oder aber vierte unterdrückt werden, sodass x = a b + a c1 + a1 b1 = a b + a1 b1 + b1 c1 sich deckt mit dem oben beispielsweise angeführten zweierlei einfachste Darstellungen zulassenden Ausdrucke — vergl. § 18, β1). Als ein bequemeres Verfahren scheint mir indess die Anwendung von Th. 30+) und 33+) Zusatz den Vorzug zu verdienen, wonach man sogleich schliessen kann: x = a {b1 c1 + b (d + d1)} + a1 b1 (d1 + d) = a (b1 c1 + b) + a1 b1, d. h. einerseits = a (c1 + b) + a1 b1, andrerseits = a b + (a c1 + a1) b1 = a b + (c1 + a1) b1. Beim vorigen Exempel wäre zunächst der Faktor a1 zu unterdrücken gewesen, hernach in x = a + b c + (b1 + c1) d der Faktor b1 + c1 als die Negation von b c vorstellend. Schröder, Algebra der Logik. 28

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 433. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/453>, abgerufen am 20.04.2024.

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