Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Bild:
<< vorherige Seite
§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.

Wegen b x1 = 0 fällt zunächst der letzte Term fort, und für den vor-
letzten können wir ebendeshalb schreiben:
b v1 = b v1 (x + x1) = b v1 x + v1 b x1 = b v1 x + 0 = b v1 x.
Alsdann tritt x als gemeinsamer Faktor heraus, und sein Koeffizient wird:
(a1 b1 + b) v1 + a1 v = (a1 + b) v1 + a1 v = (a1 + a b) v1 + a1 v = a1 v1 + a1 v = a1,
da ja a b = 0 ist.

Hiemit ist denn gefunden:
a1 u + b u1 = a1 x,
und bleibt nun blos noch in Betracht zu ziehen, dass wegen a x = 0 in
der That:
a1 x = a1 x + a x = (a1 + a) x = 1 · x = x
sein muss.

Die Probe mit den Ausdrücken u) stimmte also für jede Bedeutung
von v.

Der Parameter u der Auflösung x = a1 u + b u1 unsrer Gleichung
a x + b x1 = 0 ist hienach bei gegebenem x im Allgemeinen weder voll-
kommen beliebig noch vollkommen bestimmt
. Vielmehr ist aus den Dar-
stellungen u) für denselben zu ersehen, dass er zwischen b1 x und a + x
liegen muss, in Formeln, dass:
ph) b1 x u a + x
und dazwischen kann er auch jeden Wert zugeteilt erhalten, wie man
durch Anwendung des Th. 47) auf die Funktion, welche u hier von v
ist, erkennt.

kh) Völlig beliebig könnte bei gegebnem x der Parameter u nur wer-
den, wenn b1 x = 0 und a + x = 1 wäre. Bilden wir aber aus diesen
Relationen und der vorausgesetzten a x + b x1 = 0 die vereinigte Gleichung,
so erhalten wir:
(a + b1) x + (a1 + b) x1 = 0,
woraus durch Elimination von x entsteht:
(a + b1) (a1 + b) oder a b + a1 b1 = 0,
d. h. a = b1, sowie b = a1, womit wir auf den schon unter s) behandelten
Fall verwiesen werden, in welchem die Wurzel x vollkommen bestimmt war.

ps) Völlig bestimmt könnte dieser Parameter u nur sein, wenn
b1 x = a + x, d. h. a1 x1 · b1 x + (a + x) (b + x1) = 0,
oder a x1 + b x = 0 noch wäre, im Ganzen also, d. h. im Verein mit der
ursprünglichen Gleichung, wenn:
a x + b x1 + a x1 + b x = 0,
oder
(a + b) (x1 + x) = a + b = 0,
mithin sowol a = 0, als b = 0 wäre.

Schröder, Algebra der Logik. 30
§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.

Wegen b x1 = 0 fällt zunächst der letzte Term fort, und für den vor-
letzten können wir ebendeshalb schreiben:
b v1 = b v1 (x + x1) = b v1 x + v1 b x1 = b v1 x + 0 = b v1 x.
Alsdann tritt x als gemeinsamer Faktor heraus, und sein Koeffizient wird:
(a1 b1 + b) v1 + a1 v = (a1 + b) v1 + a1 v = (a1 + a b) v1 + a1 v = a1 v1 + a1 v = a1,
da ja a b = 0 ist.

Hiemit ist denn gefunden:
a1 u + b u1 = a1 x,
und bleibt nun blos noch in Betracht zu ziehen, dass wegen a x = 0 in
der That:
a1 x = a1 x + a x = (a1 + a) x = 1 · x = x
sein muss.

Die Probe mit den Ausdrücken υ) stimmte also für jede Bedeutung
von v.

Der Parameter u der Auflösung x = a1 u + b u1 unsrer Gleichung
a x + b x1 = 0 ist hienach bei gegebenem x im Allgemeinen weder voll-
kommen beliebig noch vollkommen bestimmt
. Vielmehr ist aus den Dar-
stellungen υ) für denselben zu ersehen, dass er zwischen b1 x und a + x
liegen muss, in Formeln, dass:
φ) b1 xua + x
und dazwischen kann er auch jeden Wert zugeteilt erhalten, wie man
durch Anwendung des Th. 47) auf die Funktion, welche u hier von v
ist, erkennt.

χ) Völlig beliebig könnte bei gegebnem x der Parameter u nur wer-
den, wenn b1 x = 0 und a + x = 1 wäre. Bilden wir aber aus diesen
Relationen und der vorausgesetzten a x + b x1 = 0 die vereinigte Gleichung,
so erhalten wir:
(a + b1) x + (a1 + b) x1 = 0,
woraus durch Elimination von x entsteht:
(a + b1) (a1 + b) oder a b + a1 b1 = 0,
d. h. a = b1, sowie b = a1, womit wir auf den schon unter σ) behandelten
Fall verwiesen werden, in welchem die Wurzel x vollkommen bestimmt war.

ψ) Völlig bestimmt könnte dieser Parameter u nur sein, wenn
b1 x = a + x, d. h. a1 x1 · b1 x + (a + x) (b + x1) = 0,
oder a x1 + b x = 0 noch wäre, im Ganzen also, d. h. im Verein mit der
ursprünglichen Gleichung, wenn:
a x + b x1 + a x1 + b x = 0,
oder
(a + b) (x1 + x) = a + b = 0,
mithin sowol a = 0, als b = 0 wäre.

Schröder, Algebra der Logik. 30
<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <pb facs="#f0485" n="465"/>
          <fw place="top" type="header">§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.</fw><lb/>
          <p>Wegen <hi rendition="#i">b x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0 fällt zunächst der letzte Term fort, und für den vor-<lb/>
letzten können wir ebendeshalb schreiben:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">b v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">b v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = <hi rendition="#i">b v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">b v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi> + 0 = <hi rendition="#i">b v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi>.</hi><lb/>
Alsdann tritt <hi rendition="#i">x</hi> als gemeinsamer Faktor heraus, und sein Koeffizient wird:<lb/>
(<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) <hi rendition="#i">v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) <hi rendition="#i">v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a b</hi>) <hi rendition="#i">v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,<lb/>
da ja <hi rendition="#i">a b</hi> = 0 ist.</p><lb/>
          <p>Hiemit ist denn gefunden:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">u</hi> + <hi rendition="#i">b u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi>,</hi><lb/>
und bleibt nun blos noch in Betracht zu ziehen, dass wegen <hi rendition="#i">a x</hi> = 0 in<lb/>
der That:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">a x</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi>) <hi rendition="#i">x</hi> = 1 · <hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">x</hi></hi><lb/>
sein muss.</p><lb/>
          <p>Die Probe mit den Ausdrücken <hi rendition="#i">&#x03C5;</hi>) stimmte also für jede Bedeutung<lb/>
von <hi rendition="#i">v</hi>.</p><lb/>
          <p><hi rendition="#i">Der Parameter u</hi> der Auflösung <hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">u</hi> + <hi rendition="#i">b u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> unsrer Gleichung<lb/><hi rendition="#i">a x</hi> + <hi rendition="#i">b x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0 <hi rendition="#i">ist</hi> hienach <hi rendition="#i">bei gegebenem x</hi> im Allgemeinen <hi rendition="#i">weder voll-<lb/>
kommen beliebig noch vollkommen bestimmt</hi>. Vielmehr ist aus den Dar-<lb/>
stellungen <hi rendition="#i">&#x03C5;</hi>) für denselben zu ersehen, dass er zwischen <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi> und <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><lb/>
liegen muss, in Formeln, dass:<lb/><hi rendition="#i">&#x03C6;</hi>) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">x</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">u</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">x</hi></hi><lb/>
und dazwischen kann er auch jeden Wert zugeteilt erhalten, wie man<lb/>
durch Anwendung des Th. 47) auf die Funktion, welche <hi rendition="#i">u</hi> hier von <hi rendition="#i">v</hi><lb/>
ist, erkennt.</p><lb/>
          <p><hi rendition="#i">&#x03C7;</hi>) <hi rendition="#i">Völlig beliebig</hi> könnte bei gegebnem <hi rendition="#i">x</hi> der Parameter <hi rendition="#i">u</hi> nur wer-<lb/>
den, wenn <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi> = 0 und <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">x</hi> = 1 wäre. Bilden wir aber aus diesen<lb/>
Relationen und der vorausgesetzten <hi rendition="#i">a x</hi> + <hi rendition="#i">b x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0 die vereinigte Gleichung,<lb/>
so erhalten wir:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">x</hi> + (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0,</hi><lb/>
woraus durch Elimination von <hi rendition="#i">x</hi> entsteht:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) oder <hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0,</hi><lb/>
d. h. <hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, sowie <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, womit wir auf den schon unter <hi rendition="#i">&#x03C3;</hi>) behandelten<lb/>
Fall verwiesen werden, in welchem die Wurzel <hi rendition="#i">x</hi> vollkommen bestimmt war.</p><lb/>
          <p><hi rendition="#i">&#x03C8;</hi>) <hi rendition="#i">Völlig bestimmt</hi> könnte dieser Parameter <hi rendition="#i">u</hi> nur sein, wenn<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">x</hi>, d. h. <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> · <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi> + (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">x</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = 0,</hi><lb/>
oder <hi rendition="#i">a x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b x</hi> = 0 noch wäre, im Ganzen also, d. h. im Verein mit der<lb/>
ursprünglichen Gleichung, wenn:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a x</hi> + <hi rendition="#i">b x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b x</hi> = 0,</hi><lb/>
oder<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> = 0,</hi><lb/>
mithin sowol <hi rendition="#i">a</hi> = 0, als <hi rendition="#i">b</hi> = 0 wäre.</p><lb/>
          <fw place="bottom" type="sig"><hi rendition="#k">Schröder</hi>, Algebra der Logik. 30</fw><lb/>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[465/0485] § 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen. Wegen b x1 = 0 fällt zunächst der letzte Term fort, und für den vor- letzten können wir ebendeshalb schreiben: b v1 = b v1 (x + x1) = b v1 x + v1 b x1 = b v1 x + 0 = b v1 x. Alsdann tritt x als gemeinsamer Faktor heraus, und sein Koeffizient wird: (a1 b1 + b) v1 + a1 v = (a1 + b) v1 + a1 v = (a1 + a b) v1 + a1 v = a1 v1 + a1 v = a1, da ja a b = 0 ist. Hiemit ist denn gefunden: a1 u + b u1 = a1 x, und bleibt nun blos noch in Betracht zu ziehen, dass wegen a x = 0 in der That: a1 x = a1 x + a x = (a1 + a) x = 1 · x = x sein muss. Die Probe mit den Ausdrücken υ) stimmte also für jede Bedeutung von v. Der Parameter u der Auflösung x = a1 u + b u1 unsrer Gleichung a x + b x1 = 0 ist hienach bei gegebenem x im Allgemeinen weder voll- kommen beliebig noch vollkommen bestimmt. Vielmehr ist aus den Dar- stellungen υ) für denselben zu ersehen, dass er zwischen b1 x und a + x liegen muss, in Formeln, dass: φ) b1 x ⋹ u ⋹ a + x und dazwischen kann er auch jeden Wert zugeteilt erhalten, wie man durch Anwendung des Th. 47) auf die Funktion, welche u hier von v ist, erkennt. χ) Völlig beliebig könnte bei gegebnem x der Parameter u nur wer- den, wenn b1 x = 0 und a + x = 1 wäre. Bilden wir aber aus diesen Relationen und der vorausgesetzten a x + b x1 = 0 die vereinigte Gleichung, so erhalten wir: (a + b1) x + (a1 + b) x1 = 0, woraus durch Elimination von x entsteht: (a + b1) (a1 + b) oder a b + a1 b1 = 0, d. h. a = b1, sowie b = a1, womit wir auf den schon unter σ) behandelten Fall verwiesen werden, in welchem die Wurzel x vollkommen bestimmt war. ψ) Völlig bestimmt könnte dieser Parameter u nur sein, wenn b1 x = a + x, d. h. a1 x1 · b1 x + (a + x) (b + x1) = 0, oder a x1 + b x = 0 noch wäre, im Ganzen also, d. h. im Verein mit der ursprünglichen Gleichung, wenn: a x + b x1 + a x1 + b x = 0, oder (a + b) (x1 + x) = a + b = 0, mithin sowol a = 0, als b = 0 wäre. Schröder, Algebra der Logik. 30

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/485
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 465. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/485>, abgerufen am 28.03.2024.