resp. Multiplikation -- vergl. Th. 12) -- kann man aber den zweiten Term einer Summe resp. Faktor eines Produkts allemal zum ersten machen; es ist darum gleichgültig, ob es das erste oder ob es das zweite Operationsglied war, nach welchem gefragt wurde, und fallen die beiden Umkehrungen der Operation hier jeweils in eine zu- sammen.
Bezeichnen wir abermals die bekannten Terme mit a und b, den gesuchten Term mit x, so wird es sich nun also darum handeln, das- jenige Gebiet, oder diejenigen Gebiete x zu ermitteln, welche die Glei- chung erfüllen: b)
x + b = a,
x · b = a,
m. a. W. es wird diese Gleichung nach der Unbekannten x aufzulösen sein. Als
"identische Differenz": a minus b, aus dem "Minuenden" a und dem "Subtrahenden" b
"identischen Quotienten": a (geteilt) durch b, aus dem Dividenden (Zähler) a und dem Divisor (Nenner) b
werden wir zu definiren haben: die Wurzel der vorstehenden Gleichung b) -- falls sie nämlich eine solche besitzt, falls die Gleichung b) über- haupt auflösbar ist nach x.
Die Bedingung hiefür ergibt sich aber nach Th. 50), indem wir die Gleichung zunächst rechterhand auf 0 bringen -- nach Th. 39) wird sie: g)
a1 (b + x) + a b1x1 = 0
a1b x + a (x1 + b1) = 0
-- und indem wir nunmehr die Unbekannte x aus ihr eliminiren. Die Resultante lautet: d)
a1b = 0, somit ba
a b1 = 0 sive ab.
Und diese Relation drückt die Anforderung aus, welche von den gegebenen Termen (Gebieten, Klassen) a, b erfüllt sein muss, wenn es überhaupt ein Gebiet oder Gebiete x geben soll für welche die aufzu- lösende Gleichung besteht. Sie ist unerlässliche Bedingung für die mögliche Geltung der Gleichung, die notwendige und hinreichende Be- dingung für die Auflösbarkeit derselben und die Existenz einer "Wur- zel" (oder von Wurzeln). Identische Subtraktion und Division sind hiernach keine unbedingt ausführbaren Operationen; ihre Ausführbarkeit ist vielmehr an die Bedingung d) geknüpft.
Ist diese Relation nicht erfüllt, so kann vernünftigerweise über- haupt nicht von einer Differenz "a minus b" resp. einem Quotienten "a durch b" gesprochen werden; die letzteren bleiben sinnlose Namen
§ 23. Die inversen Operationen des Kalkuls.
resp. Multiplikation — vergl. Th. 12) — kann man aber den zweiten Term einer Summe resp. Faktor eines Produkts allemal zum ersten machen; es ist darum gleichgültig, ob es das erste oder ob es das zweite Operationsglied war, nach welchem gefragt wurde, und fallen die beiden Umkehrungen der Operation hier jeweils in eine zu- sammen.
Bezeichnen wir abermals die bekannten Terme mit a und b, den gesuchten Term mit x, so wird es sich nun also darum handeln, das- jenige Gebiet, oder diejenigen Gebiete x zu ermitteln, welche die Glei- chung erfüllen: β)
x + b = a,
x · b = a,
m. a. W. es wird diese Gleichung nach der Unbekannten x aufzulösen sein. Als
„identische Differenz“: a minus b, aus dem „Minuenden“ a und dem „Subtrahenden“ b
„identischen Quotienten“: a (geteilt) durch b, aus dem Dividenden (Zähler) a und dem Divisor (Nenner) b
werden wir zu definiren haben: die Wurzel der vorstehenden Gleichung β) — falls sie nämlich eine solche besitzt, falls die Gleichung β) über- haupt auflösbar ist nach x.
Die Bedingung hiefür ergibt sich aber nach Th. 50), indem wir die Gleichung zunächst rechterhand auf 0 bringen — nach Th. 39) wird sie: γ)
a1 (b + x) + a b1x1 = 0
a1b x + a (x1 + b1) = 0
— und indem wir nunmehr die Unbekannte x aus ihr eliminiren. Die Resultante lautet: δ)
a1b = 0, somit b ⋹ a
a b1 = 0 sive a ⋹ b.
Und diese Relation drückt die Anforderung aus, welche von den gegebenen Termen (Gebieten, Klassen) a, b erfüllt sein muss, wenn es überhaupt ein Gebiet oder Gebiete x geben soll für welche die aufzu- lösende Gleichung besteht. Sie ist unerlässliche Bedingung für die mögliche Geltung der Gleichung, die notwendige und hinreichende Be- dingung für die Auflösbarkeit derselben und die Existenz einer „Wur- zel“ (oder von Wurzeln). Identische Subtraktion und Division sind hiernach keine unbedingt ausführbaren Operationen; ihre Ausführbarkeit ist vielmehr an die Bedingung δ) geknüpft.
Ist diese Relation nicht erfüllt, so kann vernünftigerweise über- haupt nicht von einer Differenz „a minus b“ resp. einem Quotienten „a durch b“ gesprochen werden; die letzteren bleiben sinnlose Namen
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§ 23. Die inversen Operationen des Kalkuls.
resp. Multiplikation — vergl. Th. 12) — kann man aber den zweiten
Term einer Summe resp. Faktor eines Produkts allemal zum ersten
machen; es ist darum gleichgültig, ob es das erste oder ob es das
zweite Operationsglied war, nach welchem gefragt wurde, und fallen
die beiden Umkehrungen der Operation hier jeweils in eine zu-
sammen.
Bezeichnen wir abermals die bekannten Terme mit a und b, den
gesuchten Term mit x, so wird es sich nun also darum handeln, das-
jenige Gebiet, oder diejenigen Gebiete x zu ermitteln, welche die Glei-
chung erfüllen:
β) x + b = a, x · b = a,
m. a. W. es wird diese Gleichung nach der Unbekannten x aufzulösen
sein. Als
„identische Differenz“: a minus b,
aus dem „Minuenden“ a und dem
„Subtrahenden“ b „identischen Quotienten“: a (geteilt)
durch b, aus dem Dividenden (Zähler)
a und dem Divisor (Nenner) b
werden wir zu definiren haben: die Wurzel der vorstehenden Gleichung
β) — falls sie nämlich eine solche besitzt, falls die Gleichung β) über-
haupt auflösbar ist nach x.
Die Bedingung hiefür ergibt sich aber nach Th. 50), indem wir
die Gleichung zunächst rechterhand auf 0 bringen — nach Th. 39)
wird sie:
γ) a1 (b + x) + a b1 x1 = 0 a1 b x + a (x1 + b1) = 0
— und indem wir nunmehr die Unbekannte x aus ihr eliminiren. Die
Resultante lautet:
δ) a1 b = 0, somit b ⋹ a a b1 = 0 sive a ⋹ b.
Und diese Relation drückt die Anforderung aus, welche von den
gegebenen Termen (Gebieten, Klassen) a, b erfüllt sein muss, wenn es
überhaupt ein Gebiet oder Gebiete x geben soll für welche die aufzu-
lösende Gleichung besteht. Sie ist unerlässliche Bedingung für die
mögliche Geltung der Gleichung, die notwendige und hinreichende Be-
dingung für die Auflösbarkeit derselben und die Existenz einer „Wur-
zel“ (oder von Wurzeln). Identische Subtraktion und Division sind
hiernach keine unbedingt ausführbaren Operationen; ihre Ausführbarkeit
ist vielmehr an die Bedingung δ) geknüpft.
Ist diese Relation nicht erfüllt, so kann vernünftigerweise über-
haupt nicht von einer Differenz „a minus b“ resp. einem Quotienten
„a durch b“ gesprochen werden; die letzteren bleiben sinnlose Namen
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 479. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/499>, abgerufen am 19.04.2024.
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