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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.
wurden bei der Auflösung einzelne Unbekannte vor den andern bevor-
zugt, und solches war sogar der Fall, wenn auch die urspüngliche Auf-
gabe "symmetrisch" erschien bezüglich sämtlicher Unbekannten oder
auch einer gewissen Gruppe von solchen, wenn die vereinigte Gleichung
durch gewisse unter den Unbekannten vorgenommene Vertauschungen
-- in Verbindung vielleicht mit einer gleichzeitigen Vertauschung unter
ihren gegebenen Parametern a, b, c, ... -- ungeändert blieb, nur in
sich selbst transformirt wurde.

So ist z. B. die Gleichung x y = 0 bezüglich x und y symmetrisch.
Elimination von y gibt 0 = 0 (womit also auch x von selbst heraus-
gefallen); mithin kann x als willkürlich hingestellt werden, und darnach
berechnet sich dann: y = v x1. Somit stellen uns die Gleichungen:
x = x, y = v x1
bei beliebigem x und v in der That jedes System von Wurzeln vor; man
könnte auch sagen:
x = u, y = v u1
bei beliebigen u, v.

Hätten wir aber die umgekehrte Reihenfolge bei der Auflösung vor-
gezogen, so würden wir in Gestalt von y = y, x = u y1, oder:
x = u v1, y = v
zur Darstellung von ebendiesen Wurzelpaaren gelangt sein.

Eine gerechtfertigte, rationelle Anforderung ist es, nunmehr zu
verlangen, dass die Darstellung für die Wurzelnsysteme von dem bei
dem Auflösungsverfahren befolgten modus procedendi unabhängig er-
scheinen sollen, und dass insbesondere alle diejenigen Vertauschungen
einerseits zwischen den Unbekannten x, y, z, ... andrerseits zwischen
den gegebenen Parametern a, b, ... welche die Data des Problems
ungeändert lassen, nämlich die vereinigte Gleichung desselben in sich
selbst transformiren, auch das System der Lösungen nicht affiziren,
nämlich die Darstellungen der verschiedenen Wurzeln nur auf einander
zurückführen, wofern sie noch mit geeigneten Vertauschungen unter
den neu hinzugekommenen Symbolen, den willkürlichen Parametern,
verbunden werden.

Um diesen Anforderungen zu genügen, dürfen nun jedenfalls nicht
mehr einzelne Unbekannte direkt durch andere von ihnen ausgedrückt
werden, wo letztere unbestimmt bleiben; vielmehr müssen jetzt alle
Wurzeln ausgedrückt werden lediglich durch die gegebenen Parameter
a, b, c, .. (oder die Koeffizienten der nach den Unbekannten ent-
wickelten vereinigten Gleichung) und durch willkürliche oder "unab-
hängige" Parameter.

Schröder, Algebra der Logik. 32

§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.
wurden bei der Auflösung einzelne Unbekannte vor den andern bevor-
zugt, und solches war sogar der Fall, wenn auch die urspüngliche Auf-
gabe „symmetrisch“ erschien bezüglich sämtlicher Unbekannten oder
auch einer gewissen Gruppe von solchen, wenn die vereinigte Gleichung
durch gewisse unter den Unbekannten vorgenommene Vertauschungen
— in Verbindung vielleicht mit einer gleichzeitigen Vertauschung unter
ihren gegebenen Parametern a, b, c, … — ungeändert blieb, nur in
sich selbst transformirt wurde.

So ist z. B. die Gleichung x y = 0 bezüglich x und y symmetrisch.
Elimination von y gibt 0 = 0 (womit also auch x von selbst heraus-
gefallen); mithin kann x als willkürlich hingestellt werden, und darnach
berechnet sich dann: y = v x1. Somit stellen uns die Gleichungen:
x = x, y = v x1
bei beliebigem x und v in der That jedes System von Wurzeln vor; man
könnte auch sagen:
x = u, y = v u1
bei beliebigen u, v.

Hätten wir aber die umgekehrte Reihenfolge bei der Auflösung vor-
gezogen, so würden wir in Gestalt von y = y, x = u y1, oder:
x = u v1, y = v
zur Darstellung von ebendiesen Wurzelpaaren gelangt sein.

Eine gerechtfertigte, rationelle Anforderung ist es, nunmehr zu
verlangen, dass die Darstellung für die Wurzelnsysteme von dem bei
dem Auflösungsverfahren befolgten modus procedendi unabhängig er-
scheinen sollen, und dass insbesondere alle diejenigen Vertauschungen
einerseits zwischen den Unbekannten x, y, z, … andrerseits zwischen
den gegebenen Parametern a, b, … welche die Data des Problems
ungeändert lassen, nämlich die vereinigte Gleichung desselben in sich
selbst transformiren, auch das System der Lösungen nicht affiziren,
nämlich die Darstellungen der verschiedenen Wurzeln nur auf einander
zurückführen, wofern sie noch mit geeigneten Vertauschungen unter
den neu hinzugekommenen Symbolen, den willkürlichen Parametern,
verbunden werden.

Um diesen Anforderungen zu genügen, dürfen nun jedenfalls nicht
mehr einzelne Unbekannte direkt durch andere von ihnen ausgedrückt
werden, wo letztere unbestimmt bleiben; vielmehr müssen jetzt alle
Wurzeln ausgedrückt werden lediglich durch die gegebenen Parameter
a, b, c, ‥ (oder die Koeffizienten der nach den Unbekannten ent-
wickelten vereinigten Gleichung) und durch willkürliche oder „unab-
hängige“ Parameter.

Schröder, Algebra der Logik. 32
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[497/0517] § 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen. wurden bei der Auflösung einzelne Unbekannte vor den andern bevor- zugt, und solches war sogar der Fall, wenn auch die urspüngliche Auf- gabe „symmetrisch“ erschien bezüglich sämtlicher Unbekannten oder auch einer gewissen Gruppe von solchen, wenn die vereinigte Gleichung durch gewisse unter den Unbekannten vorgenommene Vertauschungen — in Verbindung vielleicht mit einer gleichzeitigen Vertauschung unter ihren gegebenen Parametern a, b, c, … — ungeändert blieb, nur in sich selbst transformirt wurde. So ist z. B. die Gleichung x y = 0 bezüglich x und y symmetrisch. Elimination von y gibt 0 = 0 (womit also auch x von selbst heraus- gefallen); mithin kann x als willkürlich hingestellt werden, und darnach berechnet sich dann: y = v x1. Somit stellen uns die Gleichungen: x = x, y = v x1 bei beliebigem x und v in der That jedes System von Wurzeln vor; man könnte auch sagen: x = u, y = v u1 bei beliebigen u, v. Hätten wir aber die umgekehrte Reihenfolge bei der Auflösung vor- gezogen, so würden wir in Gestalt von y = y, x = u y1, oder: x = u v1, y = v zur Darstellung von ebendiesen Wurzelpaaren gelangt sein. Eine gerechtfertigte, rationelle Anforderung ist es, nunmehr zu verlangen, dass die Darstellung für die Wurzelnsysteme von dem bei dem Auflösungsverfahren befolgten modus procedendi unabhängig er- scheinen sollen, und dass insbesondere alle diejenigen Vertauschungen einerseits zwischen den Unbekannten x, y, z, … andrerseits zwischen den gegebenen Parametern a, b, … welche die Data des Problems ungeändert lassen, nämlich die vereinigte Gleichung desselben in sich selbst transformiren, auch das System der Lösungen nicht affiziren, nämlich die Darstellungen der verschiedenen Wurzeln nur auf einander zurückführen, wofern sie noch mit geeigneten Vertauschungen unter den neu hinzugekommenen Symbolen, den willkürlichen Parametern, verbunden werden. Um diesen Anforderungen zu genügen, dürfen nun jedenfalls nicht mehr einzelne Unbekannte direkt durch andere von ihnen ausgedrückt werden, wo letztere unbestimmt bleiben; vielmehr müssen jetzt alle Wurzeln ausgedrückt werden lediglich durch die gegebenen Parameter a, b, c, ‥ (oder die Koeffizienten der nach den Unbekannten ent- wickelten vereinigten Gleichung) und durch willkürliche oder „unab- hängige“ Parameter. Schröder, Algebra der Logik. 32

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 497. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/517>, abgerufen am 23.04.2024.