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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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McColl's Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
durchweg (überall wo es vorkommt) voransteht. Mithin treffen für diese
ausgehobenen Elementepaare die Voraussetzungen unsres Satzes zu, und
da k < n ist, so gilt laut Annahme der Satz bereits für diese, d. h. es
muss sich innerhalb der ausgehobnen Elementepaare ein Cyklus aus solchen
herstellen lassen (q. e. d.).

Eine Ausnahme scheinen indes die Fälle k = 1 und k = 2 zu bilden,
wo solcher Cyklus gar nicht existirte. Da dann aber auch die Voraus-
setzungen des Satzes nicht mehr realisirbar sein werden, so fällt der Fall
sicher unter die Klasse der mit Stern zu markirenden Aushebungen oder
Systeme.

Für k = 2 nämlich -- wo noch ... 18, dann aber 91, 01 vor dem
Striche steht, reduzirt sich unsere dritte Matrize zu dem Schema:
[Formel 1] und muss man von den beiden Paaren 90 und 09 das eine haben, sonach
gewiss die sämtlichen aus einer Zeile dieser Matrize: wählt man das
erstere, so wird das Element 9, das letztere, so wird 0 durchweg voran-
stehen -- im Einklang mit der schon allgemein geführten Überlegung.

Ebensowenig bildet der Fall k = 1 eine Ausnahme, wenn in ihm auch
die bisherige Beweisführung sich ein wenig modifizirt. Hier sind die das
Element 1 enthaltenden Paare, oder es stehn vor dem Striche: 12, 13, ... 19;
01; eine "dritte" Matrize existirt hier gar nicht, und die zweite reduzirt
sich zu der einen Zeile: |02, 03, ... 09 |, woraus bereits zu ersehen, dass
jetzt das Element 0 durchweg voransteht -- entgegen den Voraussetzungen
des Satzes.

Der Satz ist also völlig bewiesen.

Da leicht zu sehen, dass ein Cyklus -- wie 12, 23, 31 -- wieder
ein solcher wird, m. a. W. ein solcher bleibt (13, 32, 21), wenn alle Paare
rückwärts gelesen werden, so steht natürlich dem Satze noch ein zweiter
vom selben Wortlaut gegenüber, in welchem nur statt "voran-" jetzt
"hintan-" gesagt ist; und dessen Geltung wird aus der des vorigen mit-
folgen, indem man, wie angedeutet, rückwärts liest.

Die Frage, inwieweit die Sätze umkehrbar sind, sowie vielleicht von
Elementepaaren auf Elementetripel etc. sich ausdehnen lassen, empfehlen
wir dem Leser zu fernerer Prüfung.


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McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
durchweg (überall wo es vorkommt) voransteht. Mithin treffen für diese
ausgehobenen Elementepaare die Voraussetzungen unsres Satzes zu, und
da k < n ist, so gilt laut Annahme der Satz bereits für diese, d. h. es
muss sich innerhalb der ausgehobnen Elementepaare ein Cyklus aus solchen
herstellen lassen (q. e. d.).

Eine Ausnahme scheinen indes die Fälle k = 1 und k = 2 zu bilden,
wo solcher Cyklus gar nicht existirte. Da dann aber auch die Voraus-
setzungen des Satzes nicht mehr realisirbar sein werden, so fällt der Fall
sicher unter die Klasse der mit Stern zu markirenden Aushebungen oder
Systeme.

Für k = 2 nämlich — wo noch … 18, dann aber 91, 01 vor dem
Striche steht, reduzirt sich unsere dritte Matrize zu dem Schema:
[Formel 1] und muss man von den beiden Paaren 90 und 09 das eine haben, sonach
gewiss die sämtlichen aus einer Zeile dieser Matrize: wählt man das
erstere, so wird das Element 9, das letztere, so wird 0 durchweg voran-
stehen — im Einklang mit der schon allgemein geführten Überlegung.

Ebensowenig bildet der Fall k = 1 eine Ausnahme, wenn in ihm auch
die bisherige Beweisführung sich ein wenig modifizirt. Hier sind die das
Element 1 enthaltenden Paare, oder es stehn vor dem Striche: 12, 13, … 19;
01; eine „dritte“ Matrize existirt hier gar nicht, und die zweite reduzirt
sich zu der einen Zeile: |02, 03, … 09 |, woraus bereits zu ersehen, dass
jetzt das Element 0 durchweg voransteht — entgegen den Voraussetzungen
des Satzes.

Der Satz ist also völlig bewiesen.

Da leicht zu sehen, dass ein Cyklus — wie 12, 23, 31 — wieder
ein solcher wird, m. a. W. ein solcher bleibt (13, 32, 21), wenn alle Paare
rückwärts gelesen werden, so steht natürlich dem Satze noch ein zweiter
vom selben Wortlaut gegenüber, in welchem nur statt „voran-“ jetzt
„hintan-“ gesagt ist; und dessen Geltung wird aus der des vorigen mit-
folgen, indem man, wie angedeutet, rückwärts liest.

Die Frage, inwieweit die Sätze umkehrbar sind, sowie vielleicht von
Elementepaaren auf Elementetripel etc. sich ausdehnen lassen, empfehlen
wir dem Leser zu fernerer Prüfung.


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[563/0207] McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc. durchweg (überall wo es vorkommt) voransteht. Mithin treffen für diese ausgehobenen Elementepaare die Voraussetzungen unsres Satzes zu, und da k < n ist, so gilt laut Annahme der Satz bereits für diese, d. h. es muss sich innerhalb der ausgehobnen Elementepaare ein Cyklus aus solchen herstellen lassen (q. e. d.). Eine Ausnahme scheinen indes die Fälle k = 1 und k = 2 zu bilden, wo solcher Cyklus gar nicht existirte. Da dann aber auch die Voraus- setzungen des Satzes nicht mehr realisirbar sein werden, so fällt der Fall sicher unter die Klasse der mit Stern zu markirenden Aushebungen oder Systeme. Für k = 2 nämlich — wo noch … 18, dann aber 91, 01 vor dem Striche steht, reduzirt sich unsere dritte Matrize zu dem Schema: [FORMEL] und muss man von den beiden Paaren 90 und 09 das eine haben, sonach gewiss die sämtlichen aus einer Zeile dieser Matrize: wählt man das erstere, so wird das Element 9, das letztere, so wird 0 durchweg voran- stehen — im Einklang mit der schon allgemein geführten Überlegung. Ebensowenig bildet der Fall k = 1 eine Ausnahme, wenn in ihm auch die bisherige Beweisführung sich ein wenig modifizirt. Hier sind die das Element 1 enthaltenden Paare, oder es stehn vor dem Striche: 12, 13, … 19; 01; eine „dritte“ Matrize existirt hier gar nicht, und die zweite reduzirt sich zu der einen Zeile: |02, 03, … 09 |, woraus bereits zu ersehen, dass jetzt das Element 0 durchweg voransteht — entgegen den Voraussetzungen des Satzes. Der Satz ist also völlig bewiesen. Da leicht zu sehen, dass ein Cyklus — wie 12, 23, 31 — wieder ein solcher wird, m. a. W. ein solcher bleibt (13, 32, 21), wenn alle Paare rückwärts gelesen werden, so steht natürlich dem Satze noch ein zweiter vom selben Wortlaut gegenüber, in welchem nur statt „voran-“ jetzt „hintan-“ gesagt ist; und dessen Geltung wird aus der des vorigen mit- folgen, indem man, wie angedeutet, rückwärts liest. Die Frage, inwieweit die Sätze umkehrbar sind, sowie vielleicht von Elementepaaren auf Elementetripel etc. sich ausdehnen lassen, empfehlen wir dem Leser zu fernerer Prüfung. 36*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 563. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/207>, abgerufen am 19.04.2024.