Anmelden (DTAQ)

DWDS dlexDB CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

Kempe's Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

Wir verstehen unter den Buchstaben a, b, c, ... wie früher Ge-
biete einer gewöhnlichen Mannigfaltigkeit, oder etwa auch Klassen,
nennen dieselben aber nun "Elemente" (der Rechnung) -- "entities" of
the system --.

a) Eine zusammengesetzte Operation des identischen Kalkuls,
welche drei Elemente symmetrisch verknüpft, möge mittelst eckiger
Klammern durch das Symbol [a b c] dargestellt und wie folgt definirt
werden:
K 50. [a b c] = a b + a c = b c = (a + b) (a + c) (b + c).

Die Chiffren der Kempe'schen Sätze -- "sections" oder "paragraphs" --
citire ich mit K. Dieselben gehen bis 158.

Dass nämlich die beiden letzten Ausdrücke übereinstimmen, wurde
in § 18, ph), Bd. 1 S. 383 nachgewiesen. Unsere Operation ist also nicht
nur, wie gesagt, symmetrisch, so dass
K 13. [a b c] = [a c b] = [b c a] = [b a c] = [c a b] = [c b a]
und die Ordnung der Elemente stets unwesentlich ("immaterial") ist,
sondern sie ist auch zu sich selbst dual.

Und ferner begreift sie die beiden direkten Operationen, die identische
Multiplikation sowie die Addition, als Spezialfälle unter sich, indem er-
sichtlichermassen ist:

K 40.

[a b 0] = a b

[a b 1] = a + b

K 42.

b) Von dieser Operation die formalen Eigenschaften nachzuweisen:

K 14.	[a b a] = a oder [a b b] = b,
K 18.	[a b [a c d]] = [a d [a b c]] = [a c [a b d]],
K 16.	[[a b c][a b d] e] = [a b [c d e]] = [[a b c] [a b d] [a b e]],	K 17.
K 19.	[a b [a b c]] = [a b c],

wäre nur eine leichte Rechenübung. --

Ebenso leuchten unmittelbar ein die Sätze:

K 22.	[a a b1] = a, [a b a1] = b	K 36.
K 37.	[a b c]1 = [a1 b1 c1]
K 25.	([a b c1] = c) = (a = b = c).

g) Kempe bezeichnet auch mittelst geschweifter Klammern:
K 35. [a b c1] = {a b, c}
und nennt diesen Ausdruck eine "unsymmetrical resultant" im Gegen-
satz zur "symmetrical resultant" [a b c]. Mit dieser Verwendung des
Namens "Resultante" vermag ich mich nicht zu befreunden, da sie

Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

Wir verstehen unter den Buchstaben a, b, c, … wie früher Ge-
biete einer gewöhnlichen Mannigfaltigkeit, oder etwa auch Klassen,
nennen dieselben aber nun „Elemente“ (der Rechnung) — „entities“ of
the system —.

α) Eine zusammengesetzte Operation des identischen Kalkuls,
welche drei Elemente symmetrisch verknüpft, möge mittelst eckiger
Klammern durch das Symbol [a b c] dargestellt und wie folgt definirt
werden:
K 50. [a b c] = a b + a c = b c = (a + b) (a + c) (b + c).

Die Chiffren der Kempe’schen Sätze — „sections“ oder „paragraphs“ —
citire ich mit K. Dieselben gehen bis 158.

Dass nämlich die beiden letzten Ausdrücke übereinstimmen, wurde
in § 18, φ), Bd. 1 S. 383 nachgewiesen. Unsere Operation ist also nicht
nur, wie gesagt, symmetrisch, so dass
K 13. [a b c] = [a c b] = [b c a] = [b a c] = [c a b] = [c b a]
und die Ordnung der Elemente stets unwesentlich („immaterial“) ist,
sondern sie ist auch zu sich selbst dual.

Und ferner begreift sie die beiden direkten Operationen, die identische
Multiplikation sowie die Addition, als Spezialfälle unter sich, indem er-
sichtlichermassen ist:

K 40.

[a b 0] = a b

[a b 1] = a + b

K 42.

β) Von dieser Operation die formalen Eigenschaften nachzuweisen:

K 14.	[a b a] = a oder [a b b] = b,
K 18.	[a b [a c d]] = [a d [a b c]] = [a c [a b d]],
K 16.	[[a b c][a b d] e] = [a b [c d e]] = [[a b c] [a b d] [a b e]],	K 17.
K 19.	[a b [a b c]] = [a b c],

wäre nur eine leichte Rechenübung. —

Ebenso leuchten unmittelbar ein die Sätze:

K 22.	[a a b1] = a, [a b a1] = b	K 36.
K 37.	[a b c]1 = [a1 b1 c1]
K 25.	([a b c1] = c) = (a = b = c).

γ) Kempe bezeichnet auch mittelst geschweifter Klammern:
K 35. [a b c1] = {a b, c}
und nennt diesen Ausdruck eine „unsymmetrical resultant“ im Gegen-
satz zur „symmetrical resultant“ [a b c]. Mit dieser Verwendung des
Namens „Resultante“ vermag ich mich nicht zu befreunden, da sie

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <pb facs="#f0209" n="565"/>
          <fw place="top" type="header">Kempe&#x2019;s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.</fw><lb/>
          <p>Wir verstehen unter den Buchstaben <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, &#x2026; wie früher Ge-<lb/>
biete einer gewöhnlichen Mannigfaltigkeit, oder etwa auch Klassen,<lb/>
nennen dieselben aber nun &#x201E;Elemente&#x201C; (der Rechnung) &#x2014; &#x201E;entities&#x201C; of<lb/>
the system &#x2014;.</p><lb/>
          <p><hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>) Eine zusammengesetzte Operation des identischen Kalkuls,<lb/>
welche <hi rendition="#i">drei</hi> Elemente symmetrisch verknüpft, möge mittelst eckiger<lb/>
Klammern durch das Symbol [<hi rendition="#i">a b c</hi>] dargestellt und wie folgt <hi rendition="#g">definirt</hi><lb/>
werden:<lb/><hi rendition="#fr">K</hi> 50. <hi rendition="#et">[<hi rendition="#i">a b c</hi>] = <hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">a c</hi> = <hi rendition="#i">b c</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>).</hi></p><lb/>
          <p>Die Chiffren der <hi rendition="#g">Kempe&#x2019;</hi>schen Sätze &#x2014; &#x201E;sections&#x201C; oder &#x201E;paragraphs&#x201C; &#x2014;<lb/>
citire ich mit <hi rendition="#fr">K</hi>. Dieselben gehen bis 158.</p><lb/>
          <p>Dass nämlich die beiden letzten Ausdrücke übereinstimmen, wurde<lb/>
in § 18, <hi rendition="#i">&#x03C6;</hi>), Bd. 1 S. 383 nachgewiesen. Unsere Operation ist also nicht<lb/>
nur, wie gesagt, <hi rendition="#i">symmetrisch</hi>, so dass<lb/><hi rendition="#fr">K</hi> 13. <hi rendition="#et">[<hi rendition="#i">a b c</hi>] = [<hi rendition="#i">a c b</hi>] = [<hi rendition="#i">b c a</hi>] = [<hi rendition="#i">b a c</hi>] = [<hi rendition="#i">c a b</hi>] = [<hi rendition="#i">c b a</hi>]</hi><lb/>
und die Ordnung der Elemente stets unwesentlich (&#x201E;immaterial&#x201C;) ist,<lb/>
sondern sie ist auch <hi rendition="#i">zu sich selbst dual</hi>.</p><lb/>
          <p>Und ferner <hi rendition="#i">begreift sie die beiden direkten Operationen</hi>, die identische<lb/>
Multiplikation sowie die Addition, <hi rendition="#i">als Spezialfälle unter sich</hi>, indem er-<lb/>
sichtlichermassen ist:<lb/><table><row><cell><hi rendition="#fr">K</hi> 40.</cell><cell>[<hi rendition="#i">a b</hi> 0] = <hi rendition="#i">a b</hi></cell><cell>[<hi rendition="#i">a b</hi> 1] = <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi></cell><cell><hi rendition="#fr">K</hi> 42.</cell></row><lb/></table></p>
          <p><hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>) Von dieser Operation die formalen Eigenschaften nachzuweisen:<lb/><table><row><cell><hi rendition="#fr">K</hi> 14.</cell><cell>[<hi rendition="#i">a b a</hi>] = <hi rendition="#i">a</hi> oder [<hi rendition="#i">a b b</hi>] = <hi rendition="#i">b</hi>,</cell><cell/></row><lb/><row><cell><hi rendition="#fr">K</hi> 18.</cell><cell>[<hi rendition="#i">a b</hi> [<hi rendition="#i">a c d</hi>]] = [<hi rendition="#i">a d</hi> [<hi rendition="#i">a b c</hi>]] = [<hi rendition="#i">a c</hi> [<hi rendition="#i">a b d</hi>]],</cell><cell/></row><lb/><row><cell><hi rendition="#fr">K</hi> 16.</cell><cell>[[<hi rendition="#i">a b c</hi>][<hi rendition="#i">a b d</hi>] <hi rendition="#i">e</hi>] = [<hi rendition="#i">a b</hi> [<hi rendition="#i">c d e</hi>]] = [[<hi rendition="#i">a b c</hi>] [<hi rendition="#i">a b d</hi>] [<hi rendition="#i">a b e</hi>]],</cell><cell><hi rendition="#fr">K</hi> 17.</cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#fr">K</hi> 19.</cell><cell>[<hi rendition="#i">a b</hi> [<hi rendition="#i">a b c</hi>]] = [<hi rendition="#i">a b c</hi>],</cell><cell/></row><lb/></table> wäre nur eine leichte Rechenübung. &#x2014;</p><lb/>
          <p>Ebenso leuchten unmittelbar ein die Sätze:<lb/><table><row><cell><hi rendition="#fr">K</hi> 22.</cell><cell>[<hi rendition="#i">a a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>] = <hi rendition="#i">a</hi>, [<hi rendition="#i">a b a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>] = <hi rendition="#i">b</hi></cell><cell><hi rendition="#fr">K</hi> 36.</cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#fr">K</hi> 37.</cell><cell>[<hi rendition="#i">a b c</hi>]<hi rendition="#sub">1</hi> = [<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>]</cell><cell/></row><lb/><row><cell><hi rendition="#fr">K</hi> 25.</cell><cell>([<hi rendition="#i">a b c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>] = <hi rendition="#i">c</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">c</hi>).</cell><cell/></row><lb/></table></p>
          <p><hi rendition="#i">&#x03B3;</hi>) <hi rendition="#g">Kempe</hi> bezeichnet auch mittelst <hi rendition="#i">geschweifter</hi> Klammern:<lb/><hi rendition="#fr">K</hi> 35. <hi rendition="#et">[<hi rendition="#i">a b c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>] = {<hi rendition="#i">a b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>}</hi><lb/>
und nennt diesen Ausdruck eine &#x201E;unsymmetrical resultant&#x201C; im Gegen-<lb/>
satz zur &#x201E;symmetrical resultant&#x201C; [<hi rendition="#i">a b c</hi>]. Mit dieser Verwendung des<lb/>
Namens &#x201E;Resultante&#x201C; vermag ich mich nicht zu befreunden, da sie<lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[565/0209] Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage. Wir verstehen unter den Buchstaben a, b, c, … wie früher Ge- biete einer gewöhnlichen Mannigfaltigkeit, oder etwa auch Klassen, nennen dieselben aber nun „Elemente“ (der Rechnung) — „entities“ of the system —. α) Eine zusammengesetzte Operation des identischen Kalkuls, welche drei Elemente symmetrisch verknüpft, möge mittelst eckiger Klammern durch das Symbol [a b c] dargestellt und wie folgt definirt werden: K 50. [a b c] = a b + a c = b c = (a + b) (a + c) (b + c). Die Chiffren der Kempe’schen Sätze — „sections“ oder „paragraphs“ — citire ich mit K. Dieselben gehen bis 158. Dass nämlich die beiden letzten Ausdrücke übereinstimmen, wurde in § 18, φ), Bd. 1 S. 383 nachgewiesen. Unsere Operation ist also nicht nur, wie gesagt, symmetrisch, so dass K 13. [a b c] = [a c b] = [b c a] = [b a c] = [c a b] = [c b a] und die Ordnung der Elemente stets unwesentlich („immaterial“) ist, sondern sie ist auch zu sich selbst dual. Und ferner begreift sie die beiden direkten Operationen, die identische Multiplikation sowie die Addition, als Spezialfälle unter sich, indem er- sichtlichermassen ist: K 40. [a b 0] = a b [a b 1] = a + b K 42. β) Von dieser Operation die formalen Eigenschaften nachzuweisen: K 14. [a b a] = a oder [a b b] = b, K 18. [a b [a c d]] = [a d [a b c]] = [a c [a b d]], K 16. [[a b c][a b d] e] = [a b [c d e]] = [[a b c] [a b d] [a b e]], K 17. K 19. [a b [a b c]] = [a b c], wäre nur eine leichte Rechenübung. — Ebenso leuchten unmittelbar ein die Sätze: K 22. [a a b1] = a, [a b a1] = b K 36. K 37. [a b c]1 = [a1 b1 c1] K 25. ([a b c1] = c) = (a = b = c). γ) Kempe bezeichnet auch mittelst geschweifter Klammern: K 35. [a b c1] = {a b, c} und nennt diesen Ausdruck eine „unsymmetrical resultant“ im Gegen- satz zur „symmetrical resultant“ [a b c]. Mit dieser Verwendung des Namens „Resultante“ vermag ich mich nicht zu befreunden, da sie

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/209
Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 565. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/209>, abgerufen am 25.04.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.